Integrale double

[lalla231]

ho questo integrale doppio:

$\int int (y e^{y^2+x}) dx dy$

$R={(x,y) \in RR^2: 0<=x<=2y^2 " e " 0<=y<=1}$

ho impostato l'integrale prima in dy e poi in dx

$\int_{0}^{1} dy int_{0}^{2y^2} y e^{y^2+x}dx

ho pensato di spezzare la $e^{y^2+x}$ in $e^{y^2} * e^x$così da rimanere solo con la x e portare le y fuori perchè costanti...ho detto una cavolata?
posso integrare direttamente tutt'eddue la y ed e?

[_prime_number]

hai fatto bene, così ti rimane da integrare solo $e^x$.

Paola

[lalla231]

ok ma una volta arrivta qui mi blocco, come faccio a continuare, integro ogni elemento del prodotto separatamente? per parti non si puo'

$\int_{0}^{1} y e^{y^2}(e^{2y^2}-1) dy$

[gygabyte017]

Sì ti conviene spezzarlo, perché gli integrali che vengono sono entrambi semplici:

$int_0^1 ye^(y^2)(e^(2y^2)-1)dy = int_0^1 ye^(3y^2)dy - int_0^1 ye^(y^2) dy = 1/6 e^(3y^2)|_0^1 - 1/2 e^(y^2)|_0^1= e^3/6 - e/2 +1/3$

[lalla231]

"gygabyte017":Sì ti conviene spezzarlo, perché gli integrali che vengono sono entrambi semplici:

$int_0^1 ye^(y^2)(e^(2y^2)-1)dy = int_0^1 ye^(3y^2)dy - int_0^1 ye^(y^2) dy = 1/6 e^(3y^2)|_0^1 - 1/2 e^(y^2)|_0^1= e^3/6 - e/2 +1/3$

grazie, un ultima cosa direi fondamentale che per questo non riuscivo ad andare avanti questa regola d'integrazione per la quale ti viene $1/6 e^(3y^2)$ per trovare 6 fai il prodotto dell'esponente di e? 3*2? la y sparisce...e se avessi avuto solo $e^(3y^2)$ da integrare sarebbe rimasta così o dovevo poi moltipicarla per la derivata dell'esponente?

[adaBTTLS1]

3*2 sì, ma perché 6y è la derivata dell'esponente, che devi avere all'interno del simbolo di integrale. poiché hai solo y, moltiplichi e dividi per 6 in modo da avere $int\ye^(3y^2)dy=1/6*int\6ye^(3y^2)dy=1/6*e^(3y^2)+C$

[gygabyte017]

"lalla23":e se avessi avuto solo $e^(3y^2)$ da integrare sarebbe rimasta così o dovevo poi moltipicarla per la derivata dell'esponente?

no se avevi solo $int e^(3y^2)dy$, non avresti potuto fare proprio nulla perché di quella funzione non esiste una primitiva (o almeno non ne esiste una elementare... credo che con qualche magheggio e utilizzando la funzione $Gamma$ forse qualcosa esce, ma in genere non si fa)