Integrale doppio tra due ellissi

[zephyr90]

Ciao a tutti,
ho questo esercizio:

$ int int_(D)^() y^2 / (4x^2+y^2)dxdxy $

dove D è dato da queste condizioni:
$ x \geq 0 $
$ y \geq 0 $
$ 4 <= 4x^2+y^2 <= 16 $

e dovrebbe proprio essere l'area tra due ellissi nel primo quadrante.
Ho fatto tutti i passaggi (passaggio alle coordinate ellittiche, ecc.) e mi viene 15pigreco.

Non so se è giusto e non sono nemmeno molto sicuro.

Grazie mille per l'aiuto anticipatamente.

[Quinzio]

Mi sembra un po' tanto $15 \pi$.
Un quarto dell'ellisse ha area $3/2 \pi$.
Quindi se la funzione integranda fosse $1$, l'integrale darebbe l'area, ma l'integranda è $<1$... quindi c'è qualcosa che non va.

[ciampax]

Con la sostituzione $x=\rho/2\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ si ricava il nuovo dominio $\theta\in[0,\pi/2],\ 2\le\rho\le 4$. Pertanto, essendo $|J|=\rho/2$ il determinante Jacobiano si ha l'integrale

$\int_0^{\pi/2}\int_2^4 {\rho^2\sin^2\theta}/{\rho^2}\cdot \rho/2\ d\rho\ d\theta=\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\ d\theta\cdot\int_2^4\rho/2 d\rho=\int_0^{\pi/2} {1-\cos 2\theta}/2\ d\theta\cdot[\rho^2/4]_2^4=$
$=[\theta/2-{\sin 2\theta}/4]_0^{\pi/2}\cdot({16}/4-4/4)=\pi/4\cdot 3={3\pi}/4$

[zephyr90]

grazie mille! Ho svolto tutto un'altra volta e mi viene 3/4 pi.