Integrale doppio su un triangolo

[donkeyking]

Salve a tutti, ho problemi nello svolgimento del seguente esercizio.
Devo calcolare l'integrale doppio $ int int_(D) y^3 dA $ dove D è la regione triangolare di vertici $ (0,2),(1,1),(3,2) $.

Io ho provato a risolverlo determinando la retta che passa per A e B e quella che passa per B e C.
La prima ha valore $ y=2-x $ mentre la seconda $ y=(x+1)/2 $

Quindi il mio dominio sarà:

$ 2<=y<=2-x $ se $0<=x<=1$
$ 2<=y<=(x+1)/2 $ se $1<=x<=3$

e l'integrale diventa quindi:

$ int_(0)^(1)int_(2)^(2-x)y^3 dx dy +int_(1)^(3)int_(2)^((x+1)/2)y^3 dx dy $

vorrei chiedere se fino a qui i passaggi sono corretti, e non credo, poiché proseguendo con l'esercizio il risultato non mi torna rispetto a quello del libro.

Grazie

[alessandro.roma.1654]

sheldor allora i passaggi sono tutti giusti tranne quando scrivi le disuguaglianze delle y prova a farti il disegno di quel rettangolo e scrivi il dominio normale rispetto a x e vedi dove varia la y a me esce che

$D1={(x,y): 0<=x<=1,(2-x) $D2={(x,y):1<=x<=3 ,(x+1)/2 negli integrali ovviamente devi invertire gli estremi di integrazione delle y

[dott.ing1]

Aggiungo che, ovviamente, avendo scritto quel dominio come $y$-semplice l'integrazione più interna è rispetto tale variabile:
$int_(0)^(1)int_(2-x)^(2)y^3 \dy \dx +int_(1)^(3)int_((x+1)/2)^(2)y^3 \dy \dx$.