Integrale doppio su un cerchio
Lo so, non è difficile:
$f(x,y)=x^2y^2$ con dominio: cerchio con centro l'origine e raggio = 1.
Non ho la soluzione, per questo vi chiedo.
Per impostarlo devo avere:
$0<=x<=1$ e poi $0<=y<= $ ???????
(ho pensato alla porzione di circonfenza nel primo quadrante... ????? )
Poi calcolare:
$4*int_C x^2y^2 dy dx $ ?
$f(x,y)=x^2y^2$ con dominio: cerchio con centro l'origine e raggio = 1.
Non ho la soluzione, per questo vi chiedo.
Per impostarlo devo avere:
$0<=x<=1$ e poi $0<=y<= $ ???????
(ho pensato alla porzione di circonfenza nel primo quadrante... ?????
)Poi calcolare:
$4*int_C x^2y^2 dy dx $ ?
Risposte
Ti conviene passare alle coordinate polari.
Se non vuoi passare in coordinate polari puoi integrare prima $x$ fra $0$ e $\sqrt{1-y^2}$, poi $y$ fra $0$ e $1$.
Grazie Mamo, ma è proposto nel testo come esercizio da svolgere senza le coordinate polari (visto che quest'argomento è dopo...)
Allora mi sa di averti letto nel pensiero... 
"Tipper":
Se non vuoi passare in coordinate polari puoi integrare prima $x$ fra $0$ e $\sqrt{1-y^2}$, poi $y$ fra $0$ e $1$.
Ok Tipper quasi ci sono... (mi conosci ormai..
Sai i miei tempi...)Ecco quello che volevo capire è l'estremo $\sqrt{1-y^2}$. Come l'hai trovato e cosa rappresenta?
Grazie MILLE !
Se l'equazione della circonferenza è $x^2+y^2=1$, allora l'equazione della semicirconferenza di destra è $x=\sqrt{1-y^2}$, mentre l'equazione della semicirconferenza di sinistra è $x=-\sqrt{1-y^2}$.
"Tipper":
Se l'equazione della circonferenza è $x^2+y^2=1$, allora l'equazione della semicirconferenza di destra è $x=\sqrt{1-y^2}$, mentre l'equazione della semicirconferenza di sinistra è $x=-\sqrt{1-y^2}$.
Era ovvio, non dovevo neanche chiederlo!
Ok, GRAZ ! E
Siete sicuri che procedo nella maniera giusta?
No, perché così mi ritrovo a calcolare integrali molto complessi:
$4*int_0^1 (int_0^(sqrt(1-y^2)) x^2y^2 dx) dy$
E' troppo difficile così... Non mi convince....
Sono da 2 ore su questo e non mi tiro + fuori!
Allora ho calcolato un integrale simile per capire che sto combinando...
$f(x,y)=x$ con dominio: sempre il cerchio con centro l'origine e raggio 1.
4*$int_0^1 ( int_0^(sqrt(1-x^2)) ( x ) dy ) dx$
Ok ci ho provato, ma mi viene zero!
Possibile?!
$f(x,y)=x$ con dominio: sempre il cerchio con centro l'origine e raggio 1.
4*$int_0^1 ( int_0^(sqrt(1-x^2)) ( x ) dy ) dx$
Ok ci ho provato, ma mi viene zero!
Possibile?!
"Tipper":
L'ultimo che hai postato viene a zero anche a me, per l'altro i conti effettivamente vengono lunghi, ma il procedimento mi sembra quello...
Grazie Tipper! Sei molto gentile!
Ok questo mi conforta, e non poco.
L'altro riproverò così... (anche se non ho il risultato, spero venga qualcosa di accettabile, almeno..)
"Giova411":
$f(x,y)=x^2y^2$ con dominio: cerchio con centro l'origine e raggio = 1.
Non ho la soluzione, per questo vi chiedo.
Mi è venuto: $8/105$ ....
Niente, mi arrendo...
Mi affido ai vostri consigli e/o aiutini,
Grazie
Mi affido ai vostri consigli e/o aiutini,
Grazie
"Giova411":
Allora ho calcolato un integrale simile per capire che sto combinando...
$f(x,y)=x$ con dominio: sempre il cerchio con centro l'origine e raggio 1.
4*$int_0^1 ( int_0^(sqrt(1-x^2)) ( x ) dy ) dx$
Ok ci ho provato, ma mi viene zero!
Possibile?!
Mi sa tanto che quell'integrale venga $\frac{4}{3}$...
Si ottiene questo risultato sia calcolando l'integrale prima in $dx$, fra $0$ e $\sqrt{1-y^2}$, poi in $dy$, fra $0$ e $1$, sia usando le coordinate polari...
Ciao Tipper,
ho appena trovato su un libro che il secondo tipo di integrale doppio vale proprio zero.
C'é proprio scritto così.
Per quanto concerne il primo (ossia quello che chiedo nel POST...
) non sono ancora riuscito a capire come possa essere calcolato (senza le coordinate polari)...
ho appena trovato su un libro che il secondo tipo di integrale doppio vale proprio zero.
C'é proprio scritto così.
Per quanto concerne il primo (ossia quello che chiedo nel POST...
) non sono ancora riuscito a capire come possa essere calcolato (senza le coordinate polari)...
Ciao
L'integrale che hai svolto per capire il procedimento è uguale a $0$, è vero. Puoi svolgere tutti i calcoli, oppure puoi semplicemente vedere che l'integrale che imposti, ovvero
$int_C x dydx$ non è altro che l'ascissa del baricentro della tua figura. Ora, sapendo che la tua figura è una circonferenza di raggio unitario incentrata nell'origine, puoi benissimo capire che il baricentro sia nell'origine, e che quindi il tuo integrale sia $0$. Così sarebbe anche nel caso $int_C y dydx$...
Per quanto riguarda il tuo integrale di partenza, se non lo vuoi svolgere con le coordinate polari il procedimento giusto è quello indicatoti da Tipper... è naturale che i calcoli vengano un pò complicati..per questo esistono le polari..
Ciao
L'integrale che hai svolto per capire il procedimento è uguale a $0$, è vero. Puoi svolgere tutti i calcoli, oppure puoi semplicemente vedere che l'integrale che imposti, ovvero
$int_C x dydx$ non è altro che l'ascissa del baricentro della tua figura. Ora, sapendo che la tua figura è una circonferenza di raggio unitario incentrata nell'origine, puoi benissimo capire che il baricentro sia nell'origine, e che quindi il tuo integrale sia $0$. Così sarebbe anche nel caso $int_C y dydx$...
Per quanto riguarda il tuo integrale di partenza, se non lo vuoi svolgere con le coordinate polari il procedimento giusto è quello indicatoti da Tipper... è naturale che i calcoli vengano un pò complicati..per questo esistono le polari..
Ciao
Ok, ti ringrazio. Le coordinate polari non le ho fatte e, per ora, non penso di farle.
Sicuro se viene un certo risultato con le coordinate polari dovrebbe venire uguale a quello svolto senza.
Quindi chiedevo un confronto di risultati... Sempre se a qualcuno va di farlo come esercizio....
A me viene $8/105$ ma penso sia errato...
(male che vada studierò le coordinate polari, anche se sto uscendo, e non di poco, dal programma del prof...)
(Ma mi bollerà lo stesso! )
Sicuro se viene un certo risultato con le coordinate polari dovrebbe venire uguale a quello svolto senza.
Quindi chiedevo un confronto di risultati... Sempre se a qualcuno va di farlo come esercizio....
A me viene $8/105$ ma penso sia errato...
(male che vada studierò le coordinate polari, anche se sto uscendo, e non di poco, dal programma del prof...)
(Ma mi bollerà lo stesso!
)
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