Integrale doppio su parte di ellisse
Salve a tutti!
Non riesco proprio a risolvere questo integrale...
Qualcuno può aiutarmi? Ho provato a passare alle coordinate ellittiche, ma non ho ottenuto i risultati sperati... Rimanendo in x e y non riesco invece a risolvere l'integrale senza usare una calcolatrice programmabile... Qual'è il "trucco" da usare con questo integrale
?
Grazie mille!
Ciao!
Non riesco proprio a risolvere questo integrale...
\(\displaystyle \int\int_D (1/\sqrt{(4x^2+4y^2-1)}dxdy \)
con
\(\displaystyle D= { x^2/4+y^2 \leq 1 ; x \leq -1 }\)
Qualcuno può aiutarmi? Ho provato a passare alle coordinate ellittiche, ma non ho ottenuto i risultati sperati... Rimanendo in x e y non riesco invece a risolvere l'integrale senza usare una calcolatrice programmabile... Qual'è il "trucco" da usare con questo integrale
?Grazie mille!
Ciao!
Risposte
Il passaggio a coordinate ellittiche è una buona pensata: poni $x=2\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$. Riesci a determinare quali siano le limitazioni?
Io ho cercato di svolgere il tuo integrale passando alle coordinate polari e nonostante non sia proprio banale, i calcoli non sembrano complicati (almeno in apparenza).
Rappresentando graficamente il dominio si otterrebbe una cosa di questo tipo:
[img]http://www2.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP65319h25hi422g4138h000011fcd2aa27heh33e?MSPStoreType=image/gif&s=3&w=300&h=302&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
La parte più complicata sta nel determinare le limitazioni per il modulo \(\displaystyle \rho \) e l'angolo \(\displaystyle \theta \).
Si determina facilmente che i punti di intersezione tra la frontiera dell'ellisse e la retta \(\displaystyle x=-1 \) sono due e sono:
\(\displaystyle P = ( -1, \sqrt{3}/2) \)
\(\displaystyle P' = ( -1, -\sqrt{3}/2) \)
Di conseguenza:
\(\displaystyle \frac{5\pi}{6}\leq\theta\leq\frac{7\pi}{6} \)
Cerco le limitazioni per il modulo \(\displaystyle \rho \) trasformando le equazioni dei miei luoghi geometrici in coordinate polari (secondo cui \(\displaystyle x=\rho cos\theta \) e \(\displaystyle y=\rho sin\theta \) ).
Segue che:
\(\displaystyle cos\theta \leq \rho \leq \frac{2}{\sqrt{1+3sin^2\theta}} \)
La matrice di passaggio di coordinate Jacobiana nel caso di un ellisse vale \(\displaystyle J = |ab\rho| \) quindi \(\displaystyle J = 2\rho \)
Adesso possiamo calcolare l'integrale in questo modo:
\(\displaystyle \int_{\frac{5\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} {d\theta} \int_{cos\theta}^{\frac{2}{\sqrt{1+3sin^2\theta}}} {\frac{2\rho}{\sqrt{4\rho^2 - 1}} d\rho} \)
Non son riuscito a scriverlo in modo più leggibile ma per chiarezza la funzione integranda è: \(\displaystyle \frac{2\rho}{\sqrt{4\rho^2 - 1}} \)
Non ho svolto i calcoli dell'integrale, li lascio a te, ma credo sia abbastanza facile da risolvere così.
Rappresentando graficamente il dominio si otterrebbe una cosa di questo tipo:
[img]http://www2.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP65319h25hi422g4138h000011fcd2aa27heh33e?MSPStoreType=image/gif&s=3&w=300&h=302&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
La parte più complicata sta nel determinare le limitazioni per il modulo \(\displaystyle \rho \) e l'angolo \(\displaystyle \theta \).
Si determina facilmente che i punti di intersezione tra la frontiera dell'ellisse e la retta \(\displaystyle x=-1 \) sono due e sono:
\(\displaystyle P = ( -1, \sqrt{3}/2) \)
\(\displaystyle P' = ( -1, -\sqrt{3}/2) \)
Di conseguenza:
\(\displaystyle \frac{5\pi}{6}\leq\theta\leq\frac{7\pi}{6} \)
Cerco le limitazioni per il modulo \(\displaystyle \rho \) trasformando le equazioni dei miei luoghi geometrici in coordinate polari (secondo cui \(\displaystyle x=\rho cos\theta \) e \(\displaystyle y=\rho sin\theta \) ).
Segue che:
\(\displaystyle cos\theta \leq \rho \leq \frac{2}{\sqrt{1+3sin^2\theta}} \)
La matrice di passaggio di coordinate Jacobiana nel caso di un ellisse vale \(\displaystyle J = |ab\rho| \) quindi \(\displaystyle J = 2\rho \)
Adesso possiamo calcolare l'integrale in questo modo:
\(\displaystyle \int_{\frac{5\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} {d\theta} \int_{cos\theta}^{\frac{2}{\sqrt{1+3sin^2\theta}}} {\frac{2\rho}{\sqrt{4\rho^2 - 1}} d\rho} \)
Non son riuscito a scriverlo in modo più leggibile ma per chiarezza la funzione integranda è: \(\displaystyle \frac{2\rho}{\sqrt{4\rho^2 - 1}} \)
Non ho svolto i calcoli dell'integrale, li lascio a te, ma credo sia abbastanza facile da risolvere così.
Grazie mille ad entrambi per la risposta! Purtroppo Ciampax, non so come si trovano le limitazioni, è proprio questo il problema...
Per i punti di intersezione non ci sono problemi, ma come hai fatto ad ottenere quei valori per \(\displaystyle \theta \) e per \(\displaystyle \rho \)? Non riesco proprio ad arrivarci, a me non vengono quei valori sostituendo nelle equazioni del dominio... Poi mi chiedevo se è lecito usare in alcuni casi le coordinate polari ed in altri le coordinate ellittiche. Ad esempio per lo Jacobiano dipende dalle coordinate ellittiche, ma nell'integrale sono state sostituite le coordinate polari... Scusa per tutte queste domande (spero non troppo stupide )!
"lucamennoia":
La parte più complicata sta nel determinare le limitazioni per il modulo \(\displaystyle \rho \) e l'angolo \(\displaystyle \theta \).
Si determina facilmente che i punti di intersezione tra la frontiera dell'ellisse e la retta \(\displaystyle x=-1 \) sono due e sono:
\(\displaystyle P = ( -1, \sqrt{3}/2) \)
\(\displaystyle P' = ( -1, -\sqrt{3}/2) \)
Di conseguenza:
\(\displaystyle \frac{5\pi}{6}\leq\theta\leq\frac{7\pi}{6} \)
Cerco le limitazioni per il modulo \(\displaystyle \rho \) trasformando le equazioni dei miei luoghi geometrici in coordinate polari (secondo cui \(\displaystyle x=\rho cos\theta \) e \(\displaystyle y=\rho sin\theta \) ).
Segue che:
\(\displaystyle cos\theta \leq \rho \leq \frac{2}{\sqrt{1+3sin^2\theta}} \)
La matrice di passaggio di coordinate Jacobiana nel caso di un ellisse vale \(\displaystyle J = |ab\rho| \) quindi \(\displaystyle J = 2\rho \)
Per i punti di intersezione non ci sono problemi, ma come hai fatto ad ottenere quei valori per \(\displaystyle \theta \) e per \(\displaystyle \rho \)? Non riesco proprio ad arrivarci, a me non vengono quei valori sostituendo nelle equazioni del dominio... Poi mi chiedevo se è lecito usare in alcuni casi le coordinate polari ed in altri le coordinate ellittiche. Ad esempio per lo Jacobiano dipende dalle coordinate ellittiche, ma nell'integrale sono state sostituite le coordinate polari... Scusa per tutte queste domande (spero non troppo stupide
)!
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