Integrale doppio su intersezione due circonferenze

[Mito125]

Ho questo integrale doppio:

\(\displaystyle \iint_\Omega xy\ dx\ dy\) con \(\displaystyle \Omega = \{(x,y):x^2+y^2 <1,x^2+y^2<2x,y>0\} \)

Io ho fatto il grafico e trovo che si tratta dell'intersezioni delle due circonferenze nel primo quadrante(dove x>0,y>0). Ho fatto quindi un cambiamento di variabile per risolvere l'esercizio:

\(\displaystyle \tilde{\Omega}=\{\rho<1,\rho<2\cos\theta,\sin\theta>0\}=\{0<\rho<1,\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2},0<\theta<\pi\}=\{0<\pi<1,\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}\} \)

Risolvendo con questi dati io ottengo \(\displaystyle \frac{1}{16}(2-sqrt(3)) \)

Il risultato però mi riporta \(\displaystyle 5/48 \).

Sicuramente sto sbagliando qualcosa... Forse dovevo dividere l'intersezione dei cerchi e poi fissare prima \(\displaystyle 0

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Risposte

ciampax

9 giu 2014, 08:31

L'uso delle coordinate polari per certi versi è controproducente: infatti il dominio risulta normale e si può separare nei due domini
$$D-1=\{0 Passando a coordinate polari ottieni invece le condizioni
$$\rho^2<1,\ \rho^2<2\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta>0$$
Poiché $\rho>0$ possiamo anche scrivere le precedenti condizioni come
$$0\le\rho <1,\ \rho<2\cos\theta,\ \theta\in[0,\pi]$$.
Tuttavia, se osservi la figura, noterai che il punto di intersezione delle due circonferenze, $(1/2,{\sqrt{3}}/2)$ è fondamentale: avendosi per esso $\theta=\pi/3$ possiamo scrivere
$$D_1=\{0<\theta<\pi/3,\ 0<\rho<1\},\quad D_2=\{\pi/3<\theta<\pi/2,\ 0<\rho<2\cos\theta\}$$
in quanto sulla circonferenza centrata in $(1,0)$ il raggio viene determinato dalla seconda condizione imposta.

Un modo alternativo per vedere le corrette limitazioni in coordinate polari è quello di fare un grafico usando le nuove condizioni, ponendo $\theta$ sull'asse delle ascisse e $\rho$ su quello delle ordinate: non dovrebbe essere difficile vedere che effettivamente, disegnando le tre curve e prendendo le limitazioni, vengono fuori i due domini che ho detto.

Resto comunque dell'idea che procedere con le coordinate cartesiane, in questo caso, sia più veloce.

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Mito125

9 giu 2014, 08:45

Allora avevo ragione io alla fine... Solo che ugualmente mi viene fuori un risultato errato... Per quanto riguarda le coordinate polari io non ho capito come hai risolto... Non riesco a vedere il doppio dominio nelle 3 condizioni iniziali dopo il cambiamento di variabile...

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ciampax

9 giu 2014, 09:19

Risoluzione con coordinate cartesiane:
$$\int_0^{1/2}\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} xy\ dy\ dx+\int_{1/2}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}} xy\ dy\ dx=\int_0^{1/2}x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\sqrt{2x-x^2}}\ dx+\int_{1/2}^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\\
\int_0^{1/2}\frac{1}{2}(2x^2-x^3)\ dx+\int_{1/2}^1 \frac{1}{2}(x-x^3)\ dx=\frac{1}{2}\left(\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^{1/2}+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{1/2}^1\right)=\\
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{64}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}\right)=\frac{5}{48}$$

Per quanto riguarda le coordinate polari, il grafico da considerare è il seguente:


Come puoi osservare, il dominio da considerare è quello limitato dai due assi, dalla retta in rosso e dalla curva in verde. Esso si divide nei due domini che ti ho scritto prima (basta trovare le coordinate del punto di intersezione $1=2\cos\theta$) e poi andare a calcolare gli integrali (che però diventano una seccatura, secondo me).

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Mito125

9 giu 2014, 09:22

Grazie, penso che il sistema con le coordinate cartesiane sia il più intelligente.

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[ciampax]

L'uso delle coordinate polari per certi versi è controproducente: infatti il dominio risulta normale e si può separare nei due domini
$$D-1=\{0 Passando a coordinate polari ottieni invece le condizioni
$$\rho^2<1,\ \rho^2<2\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta>0$$
Poiché $\rho>0$ possiamo anche scrivere le precedenti condizioni come
$$0\le\rho <1,\ \rho<2\cos\theta,\ \theta\in[0,\pi]$$.
Tuttavia, se osservi la figura, noterai che il punto di intersezione delle due circonferenze, $(1/2,{\sqrt{3}}/2)$ è fondamentale: avendosi per esso $\theta=\pi/3$ possiamo scrivere
$$D_1=\{0<\theta<\pi/3,\ 0<\rho<1\},\quad D_2=\{\pi/3<\theta<\pi/2,\ 0<\rho<2\cos\theta\}$$
in quanto sulla circonferenza centrata in $(1,0)$ il raggio viene determinato dalla seconda condizione imposta.

Un modo alternativo per vedere le corrette limitazioni in coordinate polari è quello di fare un grafico usando le nuove condizioni, ponendo $\theta$ sull'asse delle ascisse e $\rho$ su quello delle ordinate: non dovrebbe essere difficile vedere che effettivamente, disegnando le tre curve e prendendo le limitazioni, vengono fuori i due domini che ho detto.

Resto comunque dell'idea che procedere con le coordinate cartesiane, in questo caso, sia più veloce.

[Mito125]

Allora avevo ragione io alla fine... Solo che ugualmente mi viene fuori un risultato errato... Per quanto riguarda le coordinate polari io non ho capito come hai risolto... Non riesco a vedere il doppio dominio nelle 3 condizioni iniziali dopo il cambiamento di variabile...

[ciampax]

Risoluzione con coordinate cartesiane:
$$\int_0^{1/2}\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} xy\ dy\ dx+\int_{1/2}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}} xy\ dy\ dx=\int_0^{1/2}x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\sqrt{2x-x^2}}\ dx+\int_{1/2}^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\\
\int_0^{1/2}\frac{1}{2}(2x^2-x^3)\ dx+\int_{1/2}^1 \frac{1}{2}(x-x^3)\ dx=\frac{1}{2}\left(\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^{1/2}+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{1/2}^1\right)=\\
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{64}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}\right)=\frac{5}{48}$$

Per quanto riguarda le coordinate polari, il grafico da considerare è il seguente:


Come puoi osservare, il dominio da considerare è quello limitato dai due assi, dalla retta in rosso e dalla curva in verde. Esso si divide nei due domini che ti ho scritto prima (basta trovare le coordinate del punto di intersezione $1=2\cos\theta$) e poi andare a calcolare gli integrali (che però diventano una seccatura, secondo me).

[Mito125]

Grazie, penso che il sistema con le coordinate cartesiane sia il più intelligente.