Integrale doppio su intersezione di due cerchi
Esercizio :
Sia E l'intersezione dei cerchi di centri (-1,0) e (1,0) e raggio $sqrt(2)$ Calcolare :
$ int_E x/(sqrt(2-y^2) $
l'insieme E è dato dall'intersezione di $ (x+1)^2+y^2<=2 $ e $ (x-1)^2+y^2<=2 $ ma sto avendo problemi a calcolare gli estremi di integrazione, ho provato a passare in coordinate polari ma l'integrale mi sembra diventi un po complicato e non ho risolto niente per gli estremi di integrazione.
Mi servirebbe almeno un consiglio su come procedere
EDIT : Forse per l'integrale si può effettuare un cambio di coordinate del tipo $ { ( x=u ),( 2-y^2 = v ):} $ e Jacobiano $-2y$ ma gli estremi non sto ancora riuscendo a calcolarli
Sia E l'intersezione dei cerchi di centri (-1,0) e (1,0) e raggio $sqrt(2)$ Calcolare :
$ int_E x/(sqrt(2-y^2) $
l'insieme E è dato dall'intersezione di $ (x+1)^2+y^2<=2 $ e $ (x-1)^2+y^2<=2 $ ma sto avendo problemi a calcolare gli estremi di integrazione, ho provato a passare in coordinate polari ma l'integrale mi sembra diventi un po complicato e non ho risolto niente per gli estremi di integrazione.
Mi servirebbe almeno un consiglio su come procedere
EDIT : Forse per l'integrale si può effettuare un cambio di coordinate del tipo $ { ( x=u ),( 2-y^2 = v ):} $ e Jacobiano $-2y$ ma gli estremi non sto ancora riuscendo a calcolarli
Risposte
Ciao Gio2312,
Comincerei con l'osservare che per la funzione integranda $f(x, y) = x/(sqrt{2 - y^2}) $ si ha:
$f(x, - y) = f(x, y) $
$f(- x, y) = - f(x, y) $
Inoltre l'insieme $E$ è simmetrico sia rispetto ad $x$ che rispetto ad $y$: le due circonferenze si intersecano nei due punti $A(0, 1) $ e $A'(0, - 1) $, quindi...
Comincerei con l'osservare che per la funzione integranda $f(x, y) = x/(sqrt{2 - y^2}) $ si ha:
$f(x, - y) = f(x, y) $
$f(- x, y) = - f(x, y) $
Inoltre l'insieme $E$ è simmetrico sia rispetto ad $x$ che rispetto ad $y$: le due circonferenze si intersecano nei due punti $A(0, 1) $ e $A'(0, - 1) $, quindi...
Ciao pilloeffe, ho provato a ragionare su quanto mi hai detto e ho provato a impostare l'integrale,penso sia sbagliato ma ci provo comunque
$ int_-1^1 1/(sqrt(2-y^2))dyint_0^(sqrt(2-y^2)-1)xdx $ + $ int_-1^1 1/(sqrt(2-y^2))dyint_(-sqrt(2-y^2)+1)^0xdx $
Il primo è relativo al cerchio di centro -1 , il secondo di centro 1 , sommandoli esce zero.
$ int_-1^1 1/(sqrt(2-y^2))dyint_0^(sqrt(2-y^2)-1)xdx $ + $ int_-1^1 1/(sqrt(2-y^2))dyint_(-sqrt(2-y^2)+1)^0xdx $
Il primo è relativo al cerchio di centro -1 , il secondo di centro 1 , sommandoli esce zero.
Intendevo dire che se la funzione $z = f(x,y) $ è dispari rispetto a $x $ ed il dominio $E$ rispetto al quale si deve calcolare l’integrale è ancora simmetrico rispetto all’asse $y $ (ossia se il punto $ P(x, y) \in E $ anche $ P'(-x, y) \in E $), le quote $z$ della superficie del suo grafico nei punti $P(x, y) \in E $ e $P'(-x, y) \in E $ hanno valore opposto. Allora il piano $yz $ scompone il grafico in due parti identiche dove i valori della funzione sono uguali in valore assoluto, ma di segno contrario. Questo implica che si ha:
$\int\int_E f(x, y) \text{d}x \text{d}y = 0 $
senza bisogno di alcun calcolo.
$\int\int_E f(x, y) \text{d}x \text{d}y = 0 $
senza bisogno di alcun calcolo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo