Integrale doppio su intersezione

[panciotto]

ho il seguente problema:

[tex]\int\int x dxdy[/tex]

quindi un integrale doppio molto semplice

da calcolare su una regione data dall'intersenzione tra un cerchio e una retta:

[tex]x^2+(y+1)^2<=1[/tex]
e
[tex]0<=y<=2x[/tex]

facile il calcolo nei 2 casi separati, ma, a me serve l'intersezione e qui sono in difficoltà

dovrei credo calcolare l'integrale dentro la circonferenza(e qui va bene) e poi sottrarre quello che non fa parte del semipiano individuato dalla retta, ma non so come trovarlo,

come si fa?

[Demostene92]

C'è qualcosa che non va, la prima è una parabola, non una circonferenza.

[panciotto]

ho sbaglitato a scrivere ora correggo subito nel post iniziale

[Demostene92]

Si tratta di una circonferenza di raggio unitario e centro nel punto $C=(0,-1)$.
Vediamo di trovare i punti in cui tale circonferenza si interseca con la retta $y=2x$. A tale scopo è sufficiente risolvere il seguente sistema:

$\{(y = 2x),(x^2+(y+1)^2=1):}$,

le cui soluzioni sono i due punti $P_1=(0,0)$ e $P_2=(-4/5,-8/5)$.

Per come si presenta il problema, è conveniente considerare il dominio di integrazione come un dominio normale rispetto a $y$. Quindi, notando che $y=2x->x=y/2$ e che $x^2+(y+1)^2=1->x=sqrt[1-(y+1)^2]$, l'integrale doppio diventa:

$\int_{-8/5}^{0}dy \int_{sqrt[1-(y+1)^2]}^{y/2} x dx$.

A te i conti,

[panciotto]

grazie!!