Integrale doppio su funzione esponenziale
Buongiorno
Chiedo una mano per un esercizio
È da svolgere questo integrale $int int_{D} f(x;y) dydx$ nel insieme $ D={ (x;y) : |y| ≤ e^(-x^2) } $
E con $ f(x;y) = y $
Io ho scritto $2*( int_{0}^{infty} int_{0}^{e^(-x^2)} y dydx)$ = $lim_(x->infty) int_{0}^{x} int_{0}^{e^(-x^2)} y dydx$
Risolvendo y e successivamente facendo sostituzione del parametro $t=sqrt(x)$ trovo la funzione degli errori complementare e viene $sqrt(2pi)/2 erfi (sqrt(2x))$ con $x->infty$.
A senso quello che ho fatto oppure ho sbagliato qualche passaggio ?
Grazie dell' aiuto
Chiedo una mano per un esercizio
È da svolgere questo integrale $int int_{D} f(x;y) dydx$ nel insieme $ D={ (x;y) : |y| ≤ e^(-x^2) } $
E con $ f(x;y) = y $
Io ho scritto $2*( int_{0}^{infty} int_{0}^{e^(-x^2)} y dydx)$ = $lim_(x->infty) int_{0}^{x} int_{0}^{e^(-x^2)} y dydx$
Risolvendo y e successivamente facendo sostituzione del parametro $t=sqrt(x)$ trovo la funzione degli errori complementare e viene $sqrt(2pi)/2 erfi (sqrt(2x))$ con $x->infty$.
A senso quello che ho fatto oppure ho sbagliato qualche passaggio ?
Grazie dell' aiuto
Risposte
La funzione integranda è dispari rispetto ad $y$.
@matte.c
L'integrale totale deve dare 0 IMHO.
Dimmi se ti torna il seguente ragionamento geometrico.
La y assume valori compresi fra $-e^(-x^2)<=y<=e^(-x^2)$, per cui il dominio è composto da due gaussiane speculari ed è pari rispetto ad entrambi gli assi.
La funzione integranda è il piano $z=y$ che è dispari rispetto al piano $x=0$ e pari rispetto al piano $y=0$
Quindi l'integrale deve venire zero IMHO.
Nel dettaglio, il volume è la somma delle aree di triangoli rettangoli isosceli di cateti $+-e^(-x^2)$
Se consideriamo solo il primo e secondo ottante (per cui $0<=y<=e^(-x^2)$) stiamo sommando aree pari a $[e^(-x^2)]^2/2=[e^(-2x^2)]/2$.
Volendo quindi l'intero integrale si può risolvere in un'unica variabile $int_(-oo)^(+oo) [e^(-2x^2)]/2dx=2*int_0^(+oo) [e^(-2x^2)]/2dx=int_0^(+oo) e^(-2x^2)dx=sqrt(pi/8)$
Però nel settimo e ottavo ottante il volume sarà $-sqrt(pi/8)$
L'integrale totale deve dare 0 IMHO.
Dimmi se ti torna il seguente ragionamento geometrico.
La y assume valori compresi fra $-e^(-x^2)<=y<=e^(-x^2)$, per cui il dominio è composto da due gaussiane speculari ed è pari rispetto ad entrambi gli assi.
La funzione integranda è il piano $z=y$ che è dispari rispetto al piano $x=0$ e pari rispetto al piano $y=0$
Quindi l'integrale deve venire zero IMHO.
Nel dettaglio, il volume è la somma delle aree di triangoli rettangoli isosceli di cateti $+-e^(-x^2)$
Se consideriamo solo il primo e secondo ottante (per cui $0<=y<=e^(-x^2)$) stiamo sommando aree pari a $[e^(-x^2)]^2/2=[e^(-2x^2)]/2$.
Volendo quindi l'intero integrale si può risolvere in un'unica variabile $int_(-oo)^(+oo) [e^(-2x^2)]/2dx=2*int_0^(+oo) [e^(-2x^2)]/2dx=int_0^(+oo) e^(-2x^2)dx=sqrt(pi/8)$
Però nel settimo e ottavo ottante il volume sarà $-sqrt(pi/8)$
Per ogni $x in RR$ hai:
\[
\begin{split}
\int_{-e^{-x^2}}^{e^{-x^2}} y\ \text{d} y &= \int_{-e^{-x^2}}^{0} y\ \text{d} y + \int_{0}^{e^{-x^2}} y \ \text{d} y \\
&\stackrel{y=-u}{=} - \int_0^{e^{-x^2}} u\ \text{d} u + \int_{0}^{e^{-x^2}} y \ \text{d} y \\
&= 0
\end{split}
\]
sicché:
\[
\iint_D y \ \text{d}x\text{d}y = \lim_{r, R\to +\infty} \int_{-r}^R \left( \int_{-e^{-x^2}}^{e^{-x^2}} y \ \text{d} y\right) \ \text{d} x = 0\;.
\]
\[
\begin{split}
\int_{-e^{-x^2}}^{e^{-x^2}} y\ \text{d} y &= \int_{-e^{-x^2}}^{0} y\ \text{d} y + \int_{0}^{e^{-x^2}} y \ \text{d} y \\
&\stackrel{y=-u}{=} - \int_0^{e^{-x^2}} u\ \text{d} u + \int_{0}^{e^{-x^2}} y \ \text{d} y \\
&= 0
\end{split}
\]
sicché:
\[
\iint_D y \ \text{d}x\text{d}y = \lim_{r, R\to +\infty} \int_{-r}^R \left( \int_{-e^{-x^2}}^{e^{-x^2}} y \ \text{d} y\right) \ \text{d} x = 0\;.
\]
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