Integrale doppio su dominio rettangolare di funzione fratta

[satrianoriccardo]

Salve ragazzi devo calcolare questo integrale doppio su un intervallo rettangolare ma non ne trovo via di uscita, ho provato integrando per parti ma niente...
grazie in anticipo

$ int int_(Q)^() (xy)/(x+y) dx dy ,
Q=[1,2]xx [2,3] $

[pilloeffe]

Ciao Sacio,

Benvenuto sul forum!

Non mi pare particolarmente complicato, integri prima in $y$ e poi in $x$...
Se non ho fatto male i conti si ha:

$ \int \int_Q (xy)/(x+y) "d"x "d"y = 1/3 [8 + 88 ln(2) - 9 ln(3) - 35 ln(5)] $

[satrianoriccardo]

Perdoni ma non riesco proprio a comprendere, l’hai risolto per sostituzione?

[pilloeffe]

Che cosa sai della risoluzione degli integrali doppi?
Conosci le formule di riduzione?

$ \int \int_Q (xy)/(x+y) "d"x "d"y = \int_1^2 x (\int_2^3 y/(x+y) "d"y) "d"x = \int_1^2 [x^2 ln(x + 2) - x^2 ln(x + 3) + x] "d"x $

[satrianoriccardo]

Implicitamente con la tua risposta mi hai indicato la strada risolutiva.

La terza espressione dunque l'integrale in dx di quei tre termini anche a me esce. Il problema è che non ho avuto il "coraggio" di andare avanti perchè ora per risolvere questo integrale, sfruttando anche alcune proprietà come l'additiva, comunque devo integrare per parti almeno due sue tre sottointegrali.

Quello che chiedo è se possa esistere un'altra strada risolutiva o scorciatoia perchè il rischio di sbagliare aumenta di passaggio in passaggio...

grazie comunque!

[dissonance]

Prova a usare questa scomposizione:
\[
\frac{xy}{x+y}=\frac{(x+y-y)y}{x+y}=y-\frac{y^2}{x+y}.\]
Queste scomposizioni sono ispirate dal metodo dei fratti semplici, che suppongo tu conosca. Ora è un po' più semplice.

[pilloeffe]

"Sacio":grazie comunque!

Prego. Comunque l'integrale proposto non è difficile, ma è certamente, passami il termine, estremamente "palloso"...
Vista la quantità di integrali col logaritmo, conviene preventivamente procurarsi la formula per calcolare gli integrali del tipo $I_n = \int x^n ln(x) "d"x $
Con una sola integrazione per parti si trova subito la formula seguente:

[tex]\boxed{I_n = \int x^n \ln(x) \text{d}x = \dfrac{x^{n + 1}}{(n + 1)^2} [(n + 1)\ln(x) - 1] + c}[/tex]

Per $n = 0 $ si ha $ I_0 = \int \ln(x) \text{d}x = x[\ln(x) - 1] + c $

Per $n = 1 $ si ha $ I_1 = \int x \ln(x) \text{d}x = x^2/4 [2 ln(x) - 1] + c $

Per $n = 2 $ si ha $ I_2 = \int x^2 \ln(x) \text{d}x = x^3/9 [3 ln(x) - 1] + c $

e così via...

Quindi si ha:

$ \int \int_Q (xy)/(x+y) "d"x "d"y = \int_1^2 x (\int_2^3 y/(x+y) "d"y) "d"x = \int_1^2 [x^2 ln(x + 2) - x^2 ln(x + 3) + x] "d"x = $
$ = \int_1^2 x^2 ln(x + 2) "d"x - \int_1^2 x^2 ln(x + 3) "d"x + \int_1^2 x "d"x $

Ponendo $t := x + 2 $ nel primo integrale e $u := x + 3 $ nel secondo, si ha:

$ \int \int_Q (xy)/(x+y) "d"x "d"y = \int_1^2 x^2 ln(x + 2) "d"x - \int_1^2 x^2 ln(x + 3) "d"x + \int_1^2 x "d"x = $
$ = \int_3^4 (t - 2)^2 ln(t) "d"t - \int_4^5 (u - 3)^2 ln(u) "d"u + \int_1^2 x "d"x = $
$ = \int_3^4 (t^2 - 4t + 4) ln(t) "d"t - \int_4^5 (u^2 - 6u + 9) ln(u) "d"u + 3/2 = $
$ = \int_3^4 t^2 ln(t) "d"t - 4 \int_3^4 t ln(t) "d"t + 4 \int_3^4 ln(t) "d"t - \int_4^5 u^2 ln(u) "d"u + 6 \int_4^5 u ln(u) "d"u + $
$ - 9 \int_4^5 ln(u) "d"u + 3/2 = [t^3/9 [3 ln(t) - 1]]_3^4 - 4[t^2/4 [2 ln(t) - 1]]_3^4 + 4[t[\ln(t) - 1]]_3^4 + $
$ - [u^3/9 [3 ln(u) - 1]]_4^5 + 6[u^2/4 [2 ln(u) - 1]]_4^5 - 9[u[\ln(u) - 1]]_4^5 + 3/2 = $
$ = [t^3/3 ln(t) - t^3/9]_3^4 - 4[t^2/2 ln(t) - t^2/4]_3^4 + 4[t\ln(t) - t]_3^4 + $
$ - [u^3/3 ln(u) - u^3/9]_4^5 + 6[u^2/2 ln(u) - u^2/4]_4^5 - 9[u\ln(u) - u]_4^5 + 3/2 = $
$ = [t^3/3 ln(t) - t^3/9]_3^4 - [2t^2 ln(t) - t^2]_3^4 + [4t\ln(t) - 4t]_3^4 + $
$ - [u^3/3 ln(u) - u^3/9]_4^5 + [3u^2 ln(u) - 3u^2/2]_4^5 - [9u\ln(u) - 9u]_4^5 + 3/2 = $
$ = 4^3/3 ln(4) - 4^3/9 - 3^3/3 ln(3) + 3^3/9 - [32 ln(4) - 4^2 - 18 ln(3) + 3^2] + 16\ln(4) - 16 - 12ln(3) + 12 - [5^3/3 ln(5) - 5^3/9 - 4^3/3 ln(4) + 4^3/9] + 75 ln(5) - 75/2 - 48 ln(4) + 24 - [45\ln(5) - 45 - 36\ln(4) + 36] + 3/2 = $
$ = 64/3 ln(4) - 64/9 - 9 ln(3) + 3 - 32 ln(4) + 16 + 18 ln(3) - 9 + 16\ln(4) - 16 - 12ln(3) + 12 - 125/3 ln(5) + 125/9 + 64/3 ln(4) - 64/9 + 75 ln(5) - 75/2 - 48 ln(4) + 24 - 45\ln(5) + 45 + 36\ln(4) - 36 + 3/2 = 8/3 + 44/3 ln(4) - 3 ln(3) - 35/3 ln(5) = 1/3 [8 + 88 ln(2) - 9 ln(3) - 35 ln(5)] $