Integrale doppio su circonferenze

[alessandro.roma.1654]

integrale in questione è

$\int\int_(D)1/(sqrt(x^2+y^2)$

dove D è l area compresa dalle circonferenze $x^2+y^2-x=0$ e $x^2+y^2-2x=0$

adesso da un analisi primaria si vede subito che la funzione da integrare per mia fortuna e una funzione pari quindi per qualsiasi valore di x e y negativo il valore non cambia...analizzando le due circonferenze si vede subito che sono traslate questo perche non hanno centro nell origine la mia idea e quella di prendere il volume della seconda circonferenza e sottrarla alla prima...visto che la funzione e pari questo mi permette di portarmi nell origine le due circonferenze togliendomi da dosso tanti conti fastidiosi bhe adesso la cosa diventa semplice passando in coordinate polari la nostra funzione diventa 1 mentre i rispettivi rho variano tra $1$ e $0$ la piu grande e la piu piccola va $1/2$ a $0$ quindi il risultato

dovrebbe essere $A=A_(2)-A_(1)=2\pi-\pi=\pi$ ma il risultato dell libro è 2...ammesso e non concesso di non dire una marea di fesserie dovè l errore ??

[dott.ing1]

Ciao Alessandro, allora:

"alessandrof10":visto che la funzione e pari questo mi permette di portarmi nell origine le due circonferenze togliendomi da dosso tanti conti fastidiosi bhe adesso la cosa diventa semplice passando in coordinate polari la nostra funzione diventa 1

Le coordinate le puoi centrare dove ti pare, anche se non hai una funzione pari...
Però l'integranda va modificata di conseguenza e, quindi, non vale $1$ in coordinate polari (se centri dove hai messo tu).

Comunque l'esercizio lo risolvi in modo agevole centrando in $(0,0)$. La parametrizzazione delle circonferenze rimane comunque molto semplice.

EDIT: Ricorda poi che se hai una funzione a due variabili devi specificare la simmetria di riferimento per parlare di parità/disparità.

[alessandro.roma.1654]

ciao carissimo dott comunque io avevo centrato in $(0,0)$ se faccio cosi il cambio di coordinate diventa

${(x=\rhocos(\theta)),(y=\rho sen(\theta)):}$

calcolandomi le aree normalemente la mia funzione cosi facendo diventa $1$

$f(x,y)=(\rho)/(\rho) d\rhod\theta=1d\rhod\theta$ e mi calcolo le aree semplicemente.. non capisco cosa cè di spagliato in quanto detto

altrimenti se mi attenessi all esercizio dovrei scrivere il cambio di coordinate nel seguente modo

${(x=x_(0)+\rhocos(\theta)),(y=y_(0)+\rho sen(\theta)):}$

e facendo cosi la mia funzione ovviamente non è piu unitaria... ma ripeto visto che la funzione e pari anche nella parte negativa avra lo stesso valore di quella positiva quindi traslando tutto nell origine non cambia nulla e le aree diventerebbero cosi

$\int\int_(A) 1=\int_(0)^(1)\int_(0)^(2\pi) 1-\int_(0)^(1/2)\int_(0)^(2pi)1=2\pi-\pi=\pi$

[dott.ing1]

La funzione per lo jacobiano è costante (e unitaria), ma la funzione di per sé non lo è, essendo $f(\rho,\theta)=\rho^(-1)$.
Pertanto l'integrale non ti è dato dal prodotto $1\cdot\text(area)$, non valendo la funzione $1$.

Ovviamente anche nel caso della traslazione l'integranda non è unitaria.

[alessandro.roma.1654]

"dott.ing":Pertanto l'integrale non ti è dato dal prodotto $1\cdot\text(area)$, non valendo la funzione $1$.

Ovviamente anche nel caso della traslazione l'integranda non è unitaria.

scusami dott non ho capito cosa mi vuoi spiegare...certamente la funzione non è unitaria ma moltiplicata per lo jacopiano diventa 1 e poi ?? io la traslazione non la considero proprio in quando il valore dell integrale non cambia per traslazioni per questa funzione che sto considerando

[dott.ing1]

Sto cercando di dirti che la funzione non è costante! E che quindi cambia valore al variare di $\rho$!
Per come l'hai scritto tu, risulta che il valore dell'integrale è lo stesso per tutte le circonferenze di raggio fissato. E invece no, dipende da dove la metti...

Ti tocca fare il calcolo classico: $\int_(-pi/2)^(pi/2)\int_(\rho_1(\theta))^(\rho_2(\theta))\d\rho\d\theta$, dove $\rho_1(\theta)$ e $\rho_2(\theta)$ sono le distanze dall'origine dei punti delle circonferenze parametrizzate.

[alessandro.roma.1654]

scusami dott provo a scrivere il procedimento

allora da quanto detto scelgo il seguente cambio di variabili

${(x=x_(0)+\rhocos(\theta)),(y=\rho sen(\theta)):}$

quindi avremo che integrale diventa

$\int\int_(A)1 d\rhod\theta=\int_(0)^(2\pi)\int_(-1/cos(\theta))^(1/cos(\theta)) 1d\rhod\theta-\int_(0)^(2\pi)\int_(-1/(2cos(\theta)))^(1/(2cos(\theta))) 1d\rhod\theta$

gli estremi di integrazione li ho calcolati cosi... per la circonferenza di raggio $1/2$ centrata in $(1/2,0)$

$0
e circonferenza di raggio uno centrata in $(1,0)$

$0

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[dott.ing1]

No Ale, è più facile.

Sei nell'origine, $x_0=0$. Il cambio di variabili è semplicemente: $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$.

Se le sostituisci nelle equazioni delle circonferenze trovi con pochi conti: $\rho=\cos\theta$ e $\rho=2cos\theta$.
Le circonferenze sono tangenti l'asse delle ordinate e passanti per l'origine; l'angolo varia, pertanto, in $[-pi/2,pi/2]$.
Quindi: $I=\int_(-pi/2)^(pi/2)\int_(cos\theta)^(2cos\theta)\d\rho\d\theta=...$.

Se lo trovo dopo ti posto un esercizio da risolvere con traslazione.

[alessandro.roma.1654]

scusami dott ancora non capisco perche fai cosi... sicuramente abbiamo due metodo diversi per svolgerli.. cioè io per le circonferenze utilizzo un apporto piu grafico cioè la mia theta la faccio variare tra $3\pi/2 ,\pi/2$ e la mia rho la scrivo in base alla variazione dell x come ho scritto sopra quindi essendo

$1/cos(\theta)<\rho<2/cos(\theta)$ ma integrale diverge

[alessandro.roma.1654]

mi correggo hai ragione... io ho scritto la variabile rho come se nei punti uno e due ci fossero delle rette quindi per farlo variare devo prendere per forza equazione che mi dice andamento della curva...

[dott.ing1]

Bene, è tutto chiaro ora?

Se hai voglia prova a fare questo esercizio con traslazione delle coordinate:
$int_Dxy^2\dA$, con $D$ il semicerchio ad ordinate non negative, raggio unitario e centro in $(2,0)$.