Integrale doppio semplice...spero!
ciao a tutti! dunque io avrei da calcolare un integrale doppio semplice semplice solo ke siccome è da tanto ke nn li faccio potreste x favore darmi una rinfrescatina? in fratica devo calcolare (esame di fisica matematica) il tensore di inerzia di un semicerchio rispetto al centro O del cerchio di raggio R
In pratica la prima componente del tensore è il risultato di questo integrale che, secondo le soluzioni dovrebbe essere $(mR^2)/2$ essendo $m=(pi*R^2/2)
$\int_{D} y^2+z^2 dxdy$
io ho provato ad integrare pero a me viene $0$ come risultato... e poi..il cerchio essendo sul piano la coordinata z non dovrebbe annullarsi?
In pratica la prima componente del tensore è il risultato di questo integrale che, secondo le soluzioni dovrebbe essere $(mR^2)/2$ essendo $m=(pi*R^2/2)
$\int_{D} y^2+z^2 dxdy$
io ho provato ad integrare pero a me viene $0$ come risultato... e poi..il cerchio essendo sul piano la coordinata z non dovrebbe annullarsi?
Risposte
l'integrale che tu hai scritto mi sembra strano, con x, y, z. la massa è espressa come superficie, evidentemente si chiede di non considerare la densità. l'integrale (in funzione di massa*distanza^2) lo devi fare considerando la distanza dal centro. la massa infinitesima a distanza r da O è $pi*r*dr$, per cui ottieni:
integrale (da 0 a R) di $pi*r^3*dr$ e quindi $pi*R^4/4$ . ciao.
integrale (da 0 a R) di $pi*r^3*dr$ e quindi $pi*R^4/4$ . ciao.
grazie ada x la risposta! si allora la densità è uguale a 1..mi ero dimenticato di scriverlo..nn mi sono chiari pero i passaggi sai...
in pratica il tensore di inerzia dipende dal punto in cui lo calcolo giusto? x quello devo fare la distanza dal punto..xke poi mi chiedono di calcolarlo anche rispetto al baricentro..percui avrà altre coordinate! tuttavia nn ho capito i passaggi..potresti x favore rispiegarli (senza saltarne però heeh)? grazie mille!
in pratica il tensore di inerzia dipende dal punto in cui lo calcolo giusto? x quello devo fare la distanza dal punto..xke poi mi chiedono di calcolarlo anche rispetto al baricentro..percui avrà altre coordinate! tuttavia nn ho capito i passaggi..potresti x favore rispiegarli (senza saltarne però heeh)? grazie mille!
"adaBTTLS":
integrale (da 0 a R) di $pi*r^3*dr$
questo passaggio nn mi è chiaro
il momento angolare di un corpo rigido rispetto ad un asse fisso ti risulta che sia il prodotto tra il momento d'inerzia e la velocità angolare? ebbene, il momento d'inerzia si può considerare come la somma di tanti $m_i*r_i^2$, dove $r_i$ rappresenta la distanza dall'asse di rotazione dell'elemento di massa $m_i$ . il problema dunque, nel passare all'integrale, è quello di individuare le masse che si possono consisderare alla stessa di stanza dall'asse di rotazione. nel tuo caso sono semi-corone-circolari (l'area è data dalla misura della semicirconferenza di raggio r per dr: formula del rettangolo o trapeziode deformato), quindi è p geco per r. ma la massa m (p greco per r) va moltiplicata per il quadrato della distanza dall'asse di rotazione, che nel tuo caso è sempre r dunque $r^2*pi*r*dr=pi*r^3$ . chiarito il dubbio? ciao.
"adaBTTLS":
il momento angolare di un corpo rigido rispetto ad un asse fisso ti risulta che sia il prodotto tra il momento d'inerzia e la velocità angolare? ebbene, il momento d'inerzia si può considerare come la somma di tanti $m_i*r_i^2$, dove $r_i$ rappresenta la distanza dall'asse di rotazione dell'elemento di massa $m_i$ . il problema dunque, nel passare all'integrale, è quello di individuare le masse che si possono consisderare alla stessa di stanza dall'asse di rotazione. nel tuo caso sono semi-corone-circolari (l'area è data dalla misura della semicirconferenza di raggio r per dr: formula del rettangolo o trapeziode deformato), quindi è p geco per r. ma la massa m (p greco per r) va moltiplicata per il quadrato della distanza dall'asse di rotazione, che nel tuo caso è sempre r dunque $r^2*pi*r*dr=pi*r^3$ . chiarito il dubbio? ciao.
ok ma tutto questo cosa centra con l'integrale ke ho postato? xke io alla fine devo calcolare la matrice del tensore di inerzia...poi la formula della corona circolare nn l'ho trovata da nessuna parte! nn è x caso $pi(R^2-r^2)$
Lantis, puoi per favore evitare le abbreviazioni che usi?
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Grazie per la (spero) collaborazione.
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"Steven":
Lantis, puoi per favore evitare le abbreviazioni che usi?
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ah..scusami! non avevo pensato che gli altri utenti non avrebbero potuto trovare le discussioni! grazie per avermelo detto!
cerca la definizione di momento angolare L (nell'ambito di un corpo rigido in rotazione); da lì si ricava I=L/w (ho usato w per omega, velocità angolare). per quanto riguarda invece la corona circolare, ovviamente non si tratta della classica corona circolare di cui si conoscono il raggio maggiore ed il raggio minore, ma solo di una corona infinitesima, cioè una circonferenza di spessore dr. ciao.
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