Integrale Doppio per un novello

[Bisneff]

Salve! Mi sto dando agli integrali doppi per il corso di analisi 2. Purtroppo non ho seguito il corso ed ora mi ritrovo a dover fare un poì da solo >.<

So integrare bene, il corso di analisi 1 è andato alla grande, ma la teoria di quelli doppi o multipli ancora non la capisco bene.

Ho svolto il seguente integrale:

$\int\int_T x + sin(y) dx dy $ con $ T= { (x,y) € R^2 : 0
E da qui parte la mia prima domanda. Non so perchè io l'avrei scritto così:

$\int_0^1 (\int_(y=0)^(y=1-x) x + sin(y) dy ) dx $
e l'avrei svolto spezzandolo ed integrando prima rispetto ad y e poi rispetto ad x.
Wolfram invece me lo scrive così:
[img]http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP69019h19hb2933ceha4000051abea3b3ief044a?MSPStoreType=image/gif&s=48&w=352&h=37[/img]

Il che già mi lascia perplesso

Volevo appunto chiedere, è indifferente integrare prima rispetto a y o ad x? Poi, l'integrale più esterno si riferisce sempre alla variabile x? Forse ho sbagliato la formula su wolfram?

Se qualcuno ha voglia potrebbe risolverlo (sembra semplice) e spiegarmi i passaggi? Me ne basterebbe vederne uno fatto bene per capire tutto ^^

Ps. E' preso da Analisi Matematica II M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, (Zanichelli 2009) libro che |AIMHE| non contiene le soluzioni >.< qualcuno sa se non le ho trovate io, sono googlabili in qualche modo?

Grazie in anticipo!!!

[itpareid]

applicazione del teorema di Fubini...

[Quinzio]

"Bisneff":Salve! Mi sto dando agli integrali doppi per il corso di analisi 2. Purtroppo non ho seguito il corso ed ora mi ritrovo a dover fare un poì da solo >.<

So integrare bene, il corso di analisi 1 è andato alla grande, ma la teoria di quelli doppi o multipli ancora non la capisco bene.

Ho svolto il seguente integrale:

$\int\int_T x + sin(y) dx dy $ con $ T= { (x,y) € R^2 : 0
E da qui parte la mia prima domanda. Non so perchè io l'avrei scritto così:

$\int_0^1 (\int_(y=0)^(y=1-x) x + sin(y) dy ) dx $
e l'avrei svolto spezzandolo ed integrando prima rispetto ad y e poi rispetto ad x.
Wolfram invece me lo scrive così:
[img]http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP69019h19hb2933ceha4000051abea3b3ief044a?MSPStoreType=image/gif&s=48&w=352&h=37[/img]

Il che già mi lascia perplesso

Volevo appunto chiedere, è indifferente integrare prima rispetto a y o ad x? Poi, l'integrale più esterno si riferisce sempre alla variabile x? Forse ho sbagliato la formula su wolfram?

Se qualcuno ha voglia potrebbe risolverlo (sembra semplice) e spiegarmi i passaggi? Me ne basterebbe vederne uno fatto bene per capire tutto ^^

Ps. E' preso da Analisi Matematica II M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, (Zanichelli 2009) libro che |AIMHE| non contiene le soluzioni >.< qualcuno sa se non le ho trovate io, sono googlabili in qualche modo?

Grazie in anticipo!!!

Non è nulla di cui aver timore. Sono due integrali uno annidato dentro all'altro.
Il problema maggiore viene dagli estremi di integrazione, di solito, cioè sono da capire bene.
Per la soluzione si va via rapidi.
$\int_0^1 (\int_(y=0)^(y=1-x) x + siny dy ) dx $
Faccio l'integrale interno, x è trattata come costante (importante).
[tex]\int_0^1 \left[xy - \cos y \right]_{y=0}^{y=1-x} dx[/tex]
Sostituisco estremi.
[tex]\int_0^1 \left[x(1-x) - \cos (1-x) \right]-\left[ \cos (0) \right] dx[/tex]
Semplifico.
[tex]\int_0^1 \left[x-x^2 - \cos (1-x) -1\right] dx[/tex]
Altro integrale (in x)
[tex]\left[x^2/2-x^3/3 + \sin (1-x) -x\right]_0^1[/tex]

Quello che dice Wolfram va guardato sempre cum grano salis.
Ha invertito l'ordine di integrazione (credo che la scrittura sia comunque corretta).
In qualche modo devono averlo programmato per scrivere prima l'integrale in x poi quello in y.
Frega poco, il senso deve esserti chiaro ed è quello, a prescindere da Wolfram.

[Bisneff]

Anzitutto grazie mille per la risposta! Sei stato più che chiaro e ho svolto di nuovo l'integrale con risultato positivo

Ora mi viene un'altra domanda:

Ho quest integrale $\int \int_(x^2+y^2 < 2) xy^3 dx dy$

come trovo gli estremi di integrazione?

[Camillo]

Il dominio di integrazione è il cerchio di centro l'origine e di raggio $sqrt(2)$.
Converrà allora passare alle coordinate polari ricordnado che
$x=rho cos theta; y = rho sin theta ; x^2+y^2 < 2 rarr rho < sqrt(2) $
Il dominio di integrazione nelle nuove variabili , $rho, theta $ è :$ 0< rho < sqrt(2) ; 0< theta < 2pi $.
Non dimenticare che il det della matrice jacobiana della trasformazione vale $ rho $.

[Quinzio]

"Bisneff":Anzitutto grazie mille per la risposta! Sei stato più che chiaro e ho svolto di nuovo l'integrale con risultato positivo

Ora mi viene un'altra domanda:

Ho quest integrale $\int \int_(x^2+y^2 < 2) xy^3 dx dy$

come trovo gli estremi di integrazione?

Ok ovviamente per la risposta di Camillo.
In coordinate cartesiane come fare ?
Si inizia dall'integrale più esterno quello che avrà gli estremi individuati da costanti, non da funzioni di altre variabili.
Poi si passa all'integrale immediatamente più interno: nel nostro caso ce n'è solo uno più interno; qui ovviamente devo esprimere gli estremi come funzione della variabile/i più esterna.
In parole povere:
$y$ va da $\alpha$ a $\beta$ costanti.
$x$: mi devo chiedere come esprimere x in funzione di y, quando sono ad una certa y, quanto valgono gli estremi di x ?

[tex]\int_{-\sqrt 2}^{\sqrt 2} \int_{-\sqrt{2-y^2}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x,y) \ d x\ d y[/tex]

[Bisneff]

Grazie ad entrambi.
Credo di aver capito la risposta di Quinzio, quella di Camillo la sto ancora spulciando bene per capire tutto

Un chiarimento: più interno o più esterno riferito a cosa? Quindi c'è un ordine, non posso espirere x in funzione di y? O se lo faccio il risultato è lo stesso? Devo guardare se il dominio è y-semplice e/o x-semplice, quella roba lì?

Grazie

[Camillo]

Ho semplicemente operato una trasformazione di coordinate, passando da quelle cartesiane $(x,y)$ a quelle polari $ (rho, theta)$ , essendo:
$x = rho cos theta $
$y = rho sin theta $.
L'equazione della circonferenza $x^2+y^2 = 2 $ diventa nelle nuove coordinate $rho ^2 = 2 $ da cui $rho = sqrt(2) $ e quindi $rho $ varia tra $0 $ e $ sqrt(2)$, mentre $theta $ varia tra $0 $ e $ 2pi $.
Il dominio D che era circolare in coordinate cartesiane diventa rettangolare in coordinate polari.

[Camillo]

La funzione integranda $ xy^3 $ diventa in coordinate polari $ rho cos theta*rho^3 sin^3 theta= rho^4*cos theta * sin^3 theta $ e $ dxdy $ diventa $ rho drho d theta $ ( vedi teoria !!).