Integrale doppio per riduzione

[Mito125]

Ho questo integrale doppio:

\(\displaystyle \int\int \frac{xe^{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}}{x^2+y^2} dx dy \) sul dominio \(\displaystyle D=\{(x,y)\in\Re^2:|x|<=y<=1\} \)

Io non sono riuscito a svolgerlo, perchè l'integrale ti suggerisce un cambio di variabile in coordinate polari, ma il dominio va assolutamente in senso opposto... Io avevo provato a riscrivere il dominio \(\displaystyle D=\{(x,y)\in\Re^2:x<=y<=1,-1<=x<=1\} \) ma non riesco comunque a trovare una soluzione al problema.

Simpaticamente l'esercizio è svolto con questa frase: "Poichè D è simmetrico rispetto ad y, e poichè la funzione è dispari rispetto alla variabile y, l'integrale è nullo su D", ma io volevo svolgerlo lo stesso perchè se non mi accorgo subito delle simmetrie, so comunque svolgerlo e risolverlo. Potete aiutarmi?

[marco.ceccarelli]

C'è un esercizio identico sull'eserciziario "Analisi matematica 1" di M. Amar. Anche la mia ex Prof.ssa però ha scritto che D è simmetrico rispetto all'asse y e che la funzione è dispari rispetto alla variabile x; pertanto l'integrale è nullo. Io credo che la soluzione è stata scritta in questo modo proprio perché, pur usando le coordinate polari piane, poi forse l'integrale è, come dici tu, difficile da svolgere. In questo caso, però era facile dire che il dominio è simmetrico rispetto all'asse y e che la funzione è dispari rispetto alla variabile x. Infatti $D={(x,y):-y<=x<=y,0<=y<=1}$ e $f(-x,y)=-f(x,y)$.

[Mito125]

Si si è proprio quello Io vorrei però capire se si può svolgere, sicuramente si potrà, perchè se poi non noto le due condizioni almeno ho un altro metodo per risolverlo.

[Mito125]

Up!