Integrale Doppio per Calcolo Area
Mi viene chiesto di calcolare l'area della regione interna alla curva di equazione:
$(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0$ con $x>0$ non so da dove cominciare. si potrebbero usare le coordinate polari forse, ma non
so come ricavarmi i valori sui quali variano $rho$ e $theta$. Chiedo il vostro aiuto...
$(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0$ con $x>0$ non so da dove cominciare. si potrebbero usare le coordinate polari forse, ma non
so come ricavarmi i valori sui quali variano $rho$ e $theta$. Chiedo il vostro aiuto...
Risposte
La curva di equazione $(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0$ è una lemniscata di Bernoulli,
i cui fuochi sono $(0,pm 1/sqrt2)$. Si può calcolare l'area della regione interna alla curva
esprimendo la lemniscata in "coordinate complesse" e sapendo che $oint_L barz dz$ è uguale
alla quantità $2cdotjcdotA$, dove $A$ è l'area richiesta. Procediamo dunque con
il calcolo: l'equazione polare della lemniscata in questione è $rho^2=cos(2theta)$, quindi
$rho=sqrt(cos(2theta))$. Dunque i numeri complessi che formano la curva sono $z(theta)=sqrt(cos(2theta)) e^(j theta)$.
Ricordando che la porzione di curva tale che $x>0$ si ottiene per $-pi/4, l'integrale diventa
$oint_L barz dz=int_(-pi/4)^(pi/4) bar(sqrt(cos(2theta)) e^(j theta)) cdot d/(d theta) (sqrt(cos(2theta)) e^(j theta)) d theta=I$, dove la quantità $d/(d theta) (sqrt(cos(2theta)) e^(j theta))$
è la "velocità tangenziale complessa" con cui $z(theta)$ descrive la curva.
Si ottiene che $I=j$, da cui $A=1/2$.
i cui fuochi sono $(0,pm 1/sqrt2)$. Si può calcolare l'area della regione interna alla curva
esprimendo la lemniscata in "coordinate complesse" e sapendo che $oint_L barz dz$ è uguale
alla quantità $2cdotjcdotA$, dove $A$ è l'area richiesta. Procediamo dunque con
il calcolo: l'equazione polare della lemniscata in questione è $rho^2=cos(2theta)$, quindi
$rho=sqrt(cos(2theta))$. Dunque i numeri complessi che formano la curva sono $z(theta)=sqrt(cos(2theta)) e^(j theta)$.
Ricordando che la porzione di curva tale che $x>0$ si ottiene per $-pi/4
$oint_L barz dz=int_(-pi/4)^(pi/4) bar(sqrt(cos(2theta)) e^(j theta)) cdot d/(d theta) (sqrt(cos(2theta)) e^(j theta)) d theta=I$, dove la quantità $d/(d theta) (sqrt(cos(2theta)) e^(j theta))$
è la "velocità tangenziale complessa" con cui $z(theta)$ descrive la curva.
Si ottiene che $I=j$, da cui $A=1/2$.
Sei stato molto chiaro. Purtroppo però la trasformazione in coordinate complesse non fa parte del mio programma, quindi non viene chiesto di usare questo metodo...
Spero non sia l'unico per risolvere questo esercizio...Sapresti indicarmi un altro che sia o per sostituzione normale , o passaggio in coordinate polari o con le formule di riduzione?
Questo è il campo sul quale io agisco!
Grazie
Spero non sia l'unico per risolvere questo esercizio...Sapresti indicarmi un altro che sia o per sostituzione normale , o passaggio in coordinate polari o con le formule di riduzione?
Questo è il campo sul quale io agisco!
Grazie
Come detto sopra, l'equazione polare della lemniscata è $rho^2=cos(2theta)$.
L'area di una curva espressa in equazione polare è $A=1/2 int rho^2 d theta$,
nel caso in questione dunque $A=1/2[ int_(-pi/4)^(pi/4) cos(2 theta) d theta]=1/2$.
L'area di una curva espressa in equazione polare è $A=1/2 int rho^2 d theta$,
nel caso in questione dunque $A=1/2[ int_(-pi/4)^(pi/4) cos(2 theta) d theta]=1/2$.
scusami $rho$ è considerata come una costante? non dovrebbe essere un integrale doppio (in $drho$,$dvartheta$)? quindi anche $rho$ dovrebbe essere compreso in un intervallo, dove è che sbaglio?
Non si tratta di un integrale doppio: è un integrale "singolo" nella variabile $theta$,
poichè $rho$ (e quindi $rho^2$) è funzione di $theta$, contrariamente a quanto avviene
in un integrale doppio ottenuto dopo un passaggio a coordinate polari.
poichè $rho$ (e quindi $rho^2$) è funzione di $theta$, contrariamente a quanto avviene
in un integrale doppio ottenuto dopo un passaggio a coordinate polari.
Se fai la classica sostituzione a coordinate polari ottieni:
$int_Drdrd\theta=int_(theta_1)^(theta_2)(int_0^(rho(theta))rdr)d\theta=1/2int_(theta_1)^(theta_2)rho^2(theta)d\theta$
$int_Drdrd\theta=int_(theta_1)^(theta_2)(int_0^(rho(theta))rdr)d\theta=1/2int_(theta_1)^(theta_2)rho^2(theta)d\theta$
siete stati chiari per quanto riguarda i passaggi sull'integrale. Però ho un dubbio: che formula si applica allora per il calcolo di quest'area? non è quella dell'integrale doppio della funzione identicamente uguale ad 1? Datemi quest ultimo chiarimento plz!
L'area si calcola sempre come somma dell'area infinitesime dell'elementino appartenente al dominio. Infatti io avevo tralasciato all'inizio:
$A=\int_Edxdy=\int_Drdrd\theta$ dopo il passaggio a coordinate polari; non so se era questo che volevi sapere...
$A=\int_Edxdy=\int_Drdrd\theta$ dopo il passaggio a coordinate polari; non so se era questo che volevi sapere...
perfetto era proprio questo che volevo sapere grazie
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