Integrale Doppio nel cerchio
Ciao a tutti ragazzi....devo risolvere un integrale doppio nella seguente forma:
$ int int_(D)sqrt((1-y^2)) dx dy $
Dove D: {Cerchio di centro C(1,0) e raggio = 1}
Allora io stavolta ho preferito non passare in coordinate polari...e avere un dominio $ D={(x,y) in R^2: -sqrt(2x-x^2)<=y<=sqrt(2x-x^2) ; 0<=x<=2} $
Procedendo in questo modo ottengo $ int_(0)^(2) int_(-sqrt (2x-x^2))^(sqrt (2x-x^2)) sqrt (1-y^2) $
ora a questo punto posso dire ke l'integrale si può riscrivere in questo modo: $ int_(0)^(2) int_(-sqrt (2x-x^2))^(sqrt (2x-x^2)) (1-y^2)^(1/2) $
e quindi ottengo $ int_(0)^(2) 2/3[(1-y^2)^(3/2)]_-sqrt(2x-x^2) ^sqrt(2x-x^2) $ ...
ora facendo i relativi calcoli...ottengo 2 integrali $ 2/3 int_(0)^(2)((x-1)^2)^(3/2)-2/3int_(0)^(2) sqrt(1+2x-x^2)^(3/2) $
Alla fine di tutto mi viene $ 1/6 $
E' Giusto raga??? aiutoooo!
$ int int_(D)sqrt((1-y^2)) dx dy $
Dove D: {Cerchio di centro C(1,0) e raggio = 1}
Allora io stavolta ho preferito non passare in coordinate polari...e avere un dominio $ D={(x,y) in R^2: -sqrt(2x-x^2)<=y<=sqrt(2x-x^2) ; 0<=x<=2} $
Procedendo in questo modo ottengo $ int_(0)^(2) int_(-sqrt (2x-x^2))^(sqrt (2x-x^2)) sqrt (1-y^2) $
ora a questo punto posso dire ke l'integrale si può riscrivere in questo modo: $ int_(0)^(2) int_(-sqrt (2x-x^2))^(sqrt (2x-x^2)) (1-y^2)^(1/2) $
e quindi ottengo $ int_(0)^(2) 2/3[(1-y^2)^(3/2)]_-sqrt(2x-x^2) ^sqrt(2x-x^2) $ ...
ora facendo i relativi calcoli...ottengo 2 integrali $ 2/3 int_(0)^(2)((x-1)^2)^(3/2)-2/3int_(0)^(2) sqrt(1+2x-x^2)^(3/2) $
Alla fine di tutto mi viene $ 1/6 $
E' Giusto raga??? aiutoooo!
Risposte
attento!! La primitiva di $sqrt(1-y^2)$ non è $2/3(1-y^2)^{3/2}$ ... prova a farne la derivata e vedere cosa esce!!
Comunque, ad occhio, secondo me si risolve più facilmente con le coordinate polari... non ho provato a farlo, ma di solito per questo tipo di integrali è così
Comunque, ad occhio, secondo me si risolve più facilmente con le coordinate polari... non ho provato a farlo, ma di solito per questo tipo di integrali è così
Certo che è meglio... anche perché per integrare la funzione [tex]$\sqrt{1-y^2}$[/tex] dovresti comunque porre $y=\sin t$, per cui...
@ciampax: Vabbè non essere così categorico... L'integrale potrebbe anche farsi così:
[tex]$\int \sqrt{1-y^2}\ \text{d} y =\int \frac{1-y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\ \text{d} y +\int y\ \frac{-y}{\sqrt{1-y^2}}\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\arcsin y + y\sqrt{1-y^2} -\int \sqrt{1-y^2}\ \text{d} y \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad \int \sqrt{1-y^2}\ \text{d} y =\frac{1}{2} \left( \arcsin y+y\sqrt{1-y^2}\right)$[/tex],
no?
[tex]$\int \sqrt{1-y^2}\ \text{d} y =\int \frac{1-y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\ \text{d} y +\int y\ \frac{-y}{\sqrt{1-y^2}}\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\arcsin y + y\sqrt{1-y^2} -\int \sqrt{1-y^2}\ \text{d} y \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad \int \sqrt{1-y^2}\ \text{d} y =\frac{1}{2} \left( \arcsin y+y\sqrt{1-y^2}\right)$[/tex],
no?
Ragazzi l'ho risolto...mettendo come dominio normale quello della variabile y e la x l'ho fatta variare tra due valore dipendenti da y. In pratica:
$ int int_(D) sqrt(1-y^2) dxdy $
$ dove D= {(x,y) in RR ^2 : -1<=y<=1; 1-sqrt(1-y^2)<=x<=1+sqrt(1-y^2)} $
e quindi...
$ int_(-1)^(1) sqrt(1-y^2)(int_(1-sqrt(1-y^2))^1+sqrt(1+y^2) dx)dy $
l'integrale con i dovuti calcoli si riconduce alla seguente forma:
$ 2int_(-1)^(1) 1-y^2 dy $
e quindi il risultato finale è [size=150]8/3[/size]
$ int int_(D) sqrt(1-y^2) dxdy $
$ dove D= {(x,y) in RR ^2 : -1<=y<=1; 1-sqrt(1-y^2)<=x<=1+sqrt(1-y^2)} $
e quindi...
$ int_(-1)^(1) sqrt(1-y^2)(int_(1-sqrt(1-y^2))^1+sqrt(1+y^2) dx)dy $
l'integrale con i dovuti calcoli si riconduce alla seguente forma:
$ 2int_(-1)^(1) 1-y^2 dy $
e quindi il risultato finale è [size=150]8/3[/size]
"gugo82":
@ciampax: Vabbè non essere così categorico... L'integrale potrebbe anche farsi così:
[tex]$\int \sqrt{1-y^2}\ \text{d} y =\int \frac{1-y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\ \text{d} y +\int y\ \frac{-y}{\sqrt{1-y^2}}\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\arcsin y + y\sqrt{1-y^2} -\int \sqrt{1-y^2}\ \text{d} y \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad \int \sqrt{1-y^2}\ \text{d} y =\frac{1}{2} \left( \arcsin y+y\sqrt{1-y^2}\right)$[/tex],
no?
Certo che sì... ma a scomporre quel secondo integrale per applicare l'integrazione per parti ci arriviamo giusto io e te!
ma a scomporre quel secondo integrale per applicare l'integrazione per parti ci arriviamo giusto io e te!Non esserne così sicuro. Io certamente non ci sarei arrivato, ma non escluderei che un bravo studente dei primi anni non possa farlo. Secondo me dovresti avere maggiore stima per gli studenti, certe volte li disprezzi: un insegnante che disprezza gli allievi non va bene.
"dissonance":ma a scomporre quel secondo integrale per applicare l'integrazione per parti ci arriviamo giusto io e te!Non esserne così sicuro. Io certamente non ci sarei arrivato, ma non escluderei che un bravo studente dei primi anni non possa farlo. Secondo me dovresti avere maggiore stima per gli studenti, certe volte li disprezzi: un insegnante che disprezza gli allievi non va bene.
Naaaa, ma figurati. Non disprezzo nessuno. Solo che certe volte mi fanno cadere le braccia.
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