Integrale doppio in valore assoluto
Calcolare $intint|x-y|(log(x^2+y^2))/(x^2+y^2)dxdy$ con $D = 1<=x^2+y^2<=2$
Il dominio è una corona circolare. Passando a coordinate polari ho
$-2<=\rho<=2$
$-0<=\theta<=2PI$
$intint|\rhocos\theta+\rhosen\theta|log(\rho^2)/\rho$
Ma come calcolo quell'integrale in valore assoluto??
Il dominio è una corona circolare. Passando a coordinate polari ho
$-2<=\rho<=2$
$-0<=\theta<=2PI$
$intint|\rhocos\theta+\rhosen\theta|log(\rho^2)/\rho$
Ma come calcolo quell'integrale in valore assoluto??
Risposte
Intanto, l'integranda (da integrare su un dominio normale rispetto sia all'asse $rho$ che all'asse $theta$) si fattorizza in una funzione
che dipende solo da $rho$ ed un'altra che dipende solo da $theta$, infatti si può scrivere come
$|cos theta - sin theta|(log(rho^2))/rho$ che ancora, per le proprietà dei logaritmi e poiché $1<=rho<=2$ (è positivo),
è uguale a $2|cos theta - sin theta|(log rho)/(rho)$.
Quindi l'integrale di questa funzione in $drho d theta$ si fattorizza in due integrali unidimensionali; $int_1^2 (2 log rho)/rho drho$ lo calcoli facilmente, dato che $(d rho)/rho = d(log rho)$.
Per quanto riguarda l'altro, cioè $int_0^(2pi) |cos theta - sin theta| d theta$, devi spezzare l'intervallo di integrazione, $[0,2pi]$, in più intervalli a seconda del segno della quantità in modulo, e poi sommare gli integrali su questi intervalli...
che dipende solo da $rho$ ed un'altra che dipende solo da $theta$, infatti si può scrivere come
$|cos theta - sin theta|(log(rho^2))/rho$ che ancora, per le proprietà dei logaritmi e poiché $1<=rho<=2$ (è positivo),
è uguale a $2|cos theta - sin theta|(log rho)/(rho)$.
Quindi l'integrale di questa funzione in $drho d theta$ si fattorizza in due integrali unidimensionali; $int_1^2 (2 log rho)/rho drho$ lo calcoli facilmente, dato che $(d rho)/rho = d(log rho)$.
Per quanto riguarda l'altro, cioè $int_0^(2pi) |cos theta - sin theta| d theta$, devi spezzare l'intervallo di integrazione, $[0,2pi]$, in più intervalli a seconda del segno della quantità in modulo, e poi sommare gli integrali su questi intervalli...
L'integrale in $\rho$ lo avevo già fatto, quello in $\theta$ era la rogna, ma non ho capito il tuo ragionamento e al corso non ci è stato spiegato nulla di simile...
Devo togliere il valore assoluto spezzanto il tutto in 2 integrali?
Devo togliere il valore assoluto spezzanto il tutto in 2 integrali?
Sì, adesso è un problema di Analisi I, cioè calcolare [tex]$\int_0^{2\pi}\left|\cos\theta-\sin\theta\right|\,\text{d}\theta[/tex].
Restringendoci, come dobbiamo fare, all'intervallo [tex]\left[0,2\pi\right][/tex], si vede facilmente che [tex]\displaystyle\cos\theta\geq\sin\theta \Leftrightarrow 0\le\theta\le\frac{\pi}{4}\, \lor \,\frac{5}{4}\pi\le\theta\le 2\pi[/tex], per cui devi calcolare:
[tex]\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\cos\theta-\sin\theta\right)\,\text{d}\theta+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi} \left(\sin\theta-\cos\theta\right)\,\text{d}\theta +\int_{\frac{5}{4}\pi}^{2\pi}\left(\cos\theta-\sin\theta\right)\,\text{d}\theta[/tex].
Il risultato di questa somma, moltiplicato per [tex]\ln^2 2[/tex] (il risultato dell'altro integrale), fornisce il risultato finale.
Restringendoci, come dobbiamo fare, all'intervallo [tex]\left[0,2\pi\right][/tex], si vede facilmente che [tex]\displaystyle\cos\theta\geq\sin\theta \Leftrightarrow 0\le\theta\le\frac{\pi}{4}\, \lor \,\frac{5}{4}\pi\le\theta\le 2\pi[/tex], per cui devi calcolare:
[tex]\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\cos\theta-\sin\theta\right)\,\text{d}\theta+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi} \left(\sin\theta-\cos\theta\right)\,\text{d}\theta +\int_{\frac{5}{4}\pi}^{2\pi}\left(\cos\theta-\sin\theta\right)\,\text{d}\theta[/tex].
Il risultato di questa somma, moltiplicato per [tex]\ln^2 2[/tex] (il risultato dell'altro integrale), fornisce il risultato finale.
Osservazione numero 1) il dominio di integrazione risulta $1\le\rho\le\sqrt{2},\ 0\le\theta\le 2\pi$.
Osservazione numero 2) l'integrale che state cercando di risolvere diventa
[tex]$\int_0^{2\pi}\int_1^{\sqrt{2}}|\rho\cos\theta-\rho\sin\theta|\cdot\frac{\log\rho^2}{\rho^2}\cdot\rho\ d\rho\ d\theta=$[/tex]
tenendo conto della positività della $\rho$, che esce dal valore assoluto, e l'indipendenza delle variabili
[tex]$=\int_0^{2\pi}|\cos\theta-\sin\theta|\ d\theta\cdot\int_1^{\sqrt{2}} 2\log\rho\ d\rho$[/tex]
Per l'integrale in $\theta$, bisogna procedere come afferma fireball, mentre per integrare il termine col logaritmo bisogna procedere per parti.
Osservazione numero 2) l'integrale che state cercando di risolvere diventa
[tex]$\int_0^{2\pi}\int_1^{\sqrt{2}}|\rho\cos\theta-\rho\sin\theta|\cdot\frac{\log\rho^2}{\rho^2}\cdot\rho\ d\rho\ d\theta=$[/tex]
tenendo conto della positività della $\rho$, che esce dal valore assoluto, e l'indipendenza delle variabili
[tex]$=\int_0^{2\pi}|\cos\theta-\sin\theta|\ d\theta\cdot\int_1^{\sqrt{2}} 2\log\rho\ d\rho$[/tex]
Per l'integrale in $\theta$, bisogna procedere come afferma fireball, mentre per integrare il termine col logaritmo bisogna procedere per parti.
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