Integrale doppio in un Dominio
Salve a tutti, ecco l'esercizio:
dato il seguente dominio $D = {(x,y) : x>0, y>0, x^2 + y^2 in [1,9]}$ disegnarlo e calcolarne l'area.
il grafico dovrebbe essere un quarto di corona circolare (quella del primo quadrante) formato dalle circonferenze $ x^2 + y^2 = 1$ e $ x^2 + y^2 = 9$, la cui area la calcolo (scrivendo in forma parametrica l'espessiome) come $ int_{0}^{pi/2} d vartheta int_{1}^{3} rho d rho$ che mi viene uguale a $2pi$.
[asvg]
axes("labels", "grid");
stroke="red";
arc([1,0], [0,1], 1);
stroke="red";
arc([3,0], [0,3], 3);
[/asvg]
poi l'esercizio mi chiede di trovare nel dominio D il seguente integrale: $ int int_D ln (x^2 + y^2) dx dy$;
come potrei procedere??? ho provato a ricavarmi gli estremi di integrazione e risolvere l'integrale per parti ma non sono giunto a nessun risultato se non complicare i calcoli, c'è qualche parametrizzazione che non vedo e che può semplificare il tutto???
vi ringrazio in anticipo!!!
dato il seguente dominio $D = {(x,y) : x>0, y>0, x^2 + y^2 in [1,9]}$ disegnarlo e calcolarne l'area.
il grafico dovrebbe essere un quarto di corona circolare (quella del primo quadrante) formato dalle circonferenze $ x^2 + y^2 = 1$ e $ x^2 + y^2 = 9$, la cui area la calcolo (scrivendo in forma parametrica l'espessiome) come $ int_{0}^{pi/2} d vartheta int_{1}^{3} rho d rho$ che mi viene uguale a $2pi$.
[asvg]
axes("labels", "grid");
stroke="red";
arc([1,0], [0,1], 1);
stroke="red";
arc([3,0], [0,3], 3);
[/asvg]
poi l'esercizio mi chiede di trovare nel dominio D il seguente integrale: $ int int_D ln (x^2 + y^2) dx dy$;
come potrei procedere??? ho provato a ricavarmi gli estremi di integrazione e risolvere l'integrale per parti ma non sono giunto a nessun risultato se non complicare i calcoli, c'è qualche parametrizzazione che non vedo e che può semplificare il tutto???
vi ringrazio in anticipo!!!
Risposte
Alleggerisco riportando solo il grafico, il quale risulta non visualizzabile nel post d'apertura.
"simos_89":
[asvg]axes("labels", "grid");
stroke="red";
arc([1,0], [0,1], 1);
stroke="red";
arc([3,0], [0,3], 3);[/asvg]
grazie...perché non ero riuscito a scriverlo bene... XD
Non è che non lo hai scritto bene. È che devi togliere le righe vuote tra i tag del codice e il codice. Se aggiusti, elimino il mio intervento così snelliamo.
le righe vuote le ho tolte...però non mi si visualizza lo stesso...cmq hai suggerimenti sull'integrale??? 
Mmm... strano... vabbuò!
Per l'integrale, no, mi spiace. Declino il compito ai più alti in grado.
Per l'integrale, no, mi spiace. Declino il compito ai più alti in grado.
nell'integrale hai scritto come limiti $rho in [0,3]$, mentre dovrebbe essere $rho in [1,3]$, ma penso che sia un errore di scrittura altrimenti l'area non verrebbe $2pi$. hai provato a lasciare le coordinate polari anche nell'altro integrale?
sì scusa era un errore di battitura...cmq quindi tu mi dici di provare a risolvere $int_{0}^{pi/2} int_{1}^{3} rho ln(rho^2) d rho d theta$ ?
sì, è questo che intendevo, anche se non ho provato a farlo.
non mi pare difficile, anche se avevo scritto un suggerimento che potrebbe essere fuorviante, e quindi l'ho cancellato.
è più semplice procedere per sostituzione, poi per parti (ma è un integrale noto). se non ho commesso errori dovrebbe venire $(9ln3-4)pi/2$.
non mi pare difficile, anche se avevo scritto un suggerimento che potrebbe essere fuorviante, e quindi l'ho cancellato.
è più semplice procedere per sostituzione, poi per parti (ma è un integrale noto). se non ho commesso errori dovrebbe venire $(9ln3-4)pi/2$.
allora ho provato a risolverlo e mi viene:
$int_{0}^{pi/2} int_1^3 rho ln (rho^2) d rho d theta =$
$= [theta]_{0}^{pi/2} ( [ln (rho^2)]_1^3 - int_1^3 rho 1/rho^2 2rho d rho )=$
$= pi/2 (ln 9 - ln 1 - int_1^3 2 d rho) =$
$= pi/2 (ln 9 - 2[rho]_1^3)=$
$= pi/2 ln 9 - 2 pi$
è giusto o c'ho seminato qualche errore da qualche parte???
$int_{0}^{pi/2} int_1^3 rho ln (rho^2) d rho d theta =$
$= [theta]_{0}^{pi/2} ( [ln (rho^2)]_1^3 - int_1^3 rho 1/rho^2 2rho d rho )=$
$= pi/2 (ln 9 - ln 1 - int_1^3 2 d rho) =$
$= pi/2 (ln 9 - 2[rho]_1^3)=$
$= pi/2 ln 9 - 2 pi$
è giusto o c'ho seminato qualche errore da qualche parte???
se stai integrando per parti, nella parte "fuori" dell'integrale non ci va la derivata ma la primitiva, e anche all'interno ci va la primitiva della stessa funzione e non la funzione "invariata".
P.S.: ho rifatto i conti "per parti" e se correggi viene come ti ho scritto nell'altro post.
spero sia chiaro. ciao.
P.S.: ho rifatto i conti "per parti" e se correggi viene come ti ho scritto nell'altro post.
spero sia chiaro. ciao.
ops...giusto... quindi verrebbe
$pi/2( [(rho^2)/2 ln rho^2]_1^3 - int_1^3 (rho^2)/2 1/rho^2 2rho d rho)=$
$=pi/2 (9/2 ln 9 - int_1^3 rho d rho)=$
$=9pi/4 ln 9 - pi/2 [(rho^2)/2]_1^3=$
$=9pi/4 ln 9 - pi/2 4=$
$=9pi/4 ln9 - 2pi$
spero sta volta di non aver rifatto un errore cretino come prima... XD
$pi/2( [(rho^2)/2 ln rho^2]_1^3 - int_1^3 (rho^2)/2 1/rho^2 2rho d rho)=$
$=pi/2 (9/2 ln 9 - int_1^3 rho d rho)=$
$=9pi/4 ln 9 - pi/2 [(rho^2)/2]_1^3=$
$=9pi/4 ln 9 - pi/2 4=$
$=9pi/4 ln9 - 2pi$
spero sta volta di non aver rifatto un errore cretino come prima... XD
sì, così coincide (io ho posto $1/2ln9=ln3$ ed ho lasciato $pi/2$ in evidenza).
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