Integrale doppio in coordinate polari non centrate nell'origine
Ciao ragazzi. Ho bisogno del vostro ultimo aiuto. Poi non vi annoierò più (almeno per analisi 
).
$int int_(D) y dx dy $ con $D={(x,y) € R^2|x^2+y^2<4 ; x>1; y>0}$
Il mio problema riguarda il dominio: non riesco ad esprimerlo in maniera corretta in coordinate polari. Ho sempre risolto esercizi con coordinate centrate nell'origine. Ho notato che la traslazione delle coordinate irrigidisce il calcolo.
C'è un modo più semplice?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte!
).$int int_(D) y dx dy $ con $D={(x,y) € R^2|x^2+y^2<4 ; x>1; y>0}$
Il mio problema riguarda il dominio: non riesco ad esprimerlo in maniera corretta in coordinate polari. Ho sempre risolto esercizi con coordinate centrate nell'origine. Ho notato che la traslazione delle coordinate irrigidisce il calcolo.
C'è un modo più semplice?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte!
Risposte
Qui per me non è nemmeno necessario passare in coordinate polari. Si può fare tutto in coordinate cartesiane scrivendo in maniera eslicita l'equazione dell'arco di circonferenza (prova a fare il disegno del dominio). In ogni caso, se vuoi provare passare in coordinate polari, prova quelle centrate nell'origine: non vedo alcun motivo per utilizzare quelle non centrate. Dove le centreresti?
Ha ragione Lory : il calcolo in coordinate cartesiane è veloce. Ma se proprio vuoi farlo in coordinate polari puoi procedere come segue.
Il dominio è quello colorato in rosso e di esso sia P il punto generico. Abbiamo :
$BOP=theta,BOD={pi}/3,OF=2,OG={OC}/{cos theta}=1/{cos theta},OP=rho$
Dalla figura risulta che: $OG<=OP<=OF$
Pertanto il dominio è matematizzato da :
\(\displaystyle \begin{cases}0\leq \theta\leq \frac{\pi}{3}\\\frac{1}{\cos \theta}\leq \rho\leq 2\end{cases} \)
L'integrale ( che chiamo L ) sarà allora :
$L=int_0^{{pi}/3}sin theta d theta int _{1/{cos theta}}^2 rho^2 d rho$
Lascio a te i dettagli sui facili calcoli. Comunque dovresti trovarti: $L=5/6$
Il dominio è quello colorato in rosso e di esso sia P il punto generico. Abbiamo :
$BOP=theta,BOD={pi}/3,OF=2,OG={OC}/{cos theta}=1/{cos theta},OP=rho$
Dalla figura risulta che: $OG<=OP<=OF$
Pertanto il dominio è matematizzato da :
\(\displaystyle \begin{cases}0\leq \theta\leq \frac{\pi}{3}\\\frac{1}{\cos \theta}\leq \rho\leq 2\end{cases} \)
L'integrale ( che chiamo L ) sarà allora :
$L=int_0^{{pi}/3}sin theta d theta int _{1/{cos theta}}^2 rho^2 d rho$
Lascio a te i dettagli sui facili calcoli. Comunque dovresti trovarti: $L=5/6$
Grazie ragazzi!!
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