Integrale doppio in coordinate polari: dov'è l'errore?
Salve a tutti,
Non mi viene il risultato del seguente esercizio. Potreste dargli un'occhiata, per favore?
Verificare che :
[tex]\displaystyle \int \int_B x^2 e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \dfrac{\pi(e-1)}{4e}[/tex]
Dove B è la circonferenza di centro l'origine e raggio 1.
Io ho provato così
Ho operato la seguente trasformazione (in coord. polari):
[tex]\left\lbrace \begin{array}{l l}
x &= \rho \, cos\theta\\
y & =\rho \, sin\theta \\
|J|& = \rho \\
& 0 \leq \theta \leq 2\pi \\
& 0 \leq \rho \leq 1
\end{array}\right.[/tex]
Pertanto l'integrale doppio diventa:
[tex]\displaystyle \int_0^1 \int_0^{2\pi} \rho^3 cos^2\theta \, \; e^{-\rho^2} \, d\theta \, d\rho=[/tex][tex]\displaystyle \int_0^1 \rho^3 \, e^{-\rho^2} \int_0^{2\pi} cos^2\theta\, d\theta \, d\rho[/tex]
Dalla formula inversa del cos(2θ) ricavo che: [tex]cos^2\theta= \dfrac{cos(2\theta)}{2}+\dfrac{1}{2}[/tex]
Sostituisco nell'integrale al posto di cos²(θ) così da ottenere:
[tex]\displaystyle \int_0^1 \rho^3 \, e^{-\rho^2} \large \left\lbrace \int_0^{2\pi} \dfrac{2}{2} \dfrac{cos2\theta}{2} d\theta + \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta \large \right\rbrace \: d\rho=[/tex] [tex]\displaystyle \int_0^1\rho^3 \, e^{-\rho^2} \large \left\lbrace \dfrac{1}{4} [ \sin(2\theta) ]_0^{2\pi}+ \frac{1}{2} \cdot 2\pi \large \right\rbrace \: d\rho[/tex] [tex]=\displaystyle \int_0^1 \, \rho^3 \, e^{-\rho^2} \left\lbrace0 + \pi \right\rbrace d\rho[/tex] [tex]=-\dfrac{\pi}{2}\displaystyle \int_0^1\rho^2 ( -2\rho \, e^{-\rho^2}) d\rho[/tex]
Integro per parti, avendo prima posto:
[tex]\left\lbrace \begin{array}{l l}
f'=-2\rho\, e^{-\rho^2} & \to f=e^{-\rho^2}\\
g =\rho^2 & \to g'=2\rho \\
\end{array}\right.[/tex]
Quindi:
[tex]=-\dfrac{\pi}{2} \large \left\lbrace \displaystyle \left[\rho^2e^{-\rho^2}\displaystyle \right]_0^1 - \displaystyle \int_0^1 2\rho \: e^{-\rho^2} \, d\rho \large \right\rbrace= -\dfrac{\pi}{2} \displaystyle \left\lbrace \dfrac{1}{e} +\displaystyle \left[ e^{-\rho^2} \displaystyle\right]_0^1 \displaystyle \right\rbrace[/tex]= [tex]- \dfrac{\pi}{2}\; \dfrac{2-e}{e} = \dfrac{\pi(e-2)}{2e}[/tex]
Che non è quello che doveva venire! Cioè [tex]\dfrac{\pi(e-1)}{4e}[/tex]
Non mi viene il risultato del seguente esercizio. Potreste dargli un'occhiata, per favore?
Verificare che :
[tex]\displaystyle \int \int_B x^2 e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \dfrac{\pi(e-1)}{4e}[/tex]
Dove B è la circonferenza di centro l'origine e raggio 1.
Io ho provato così
Ho operato la seguente trasformazione (in coord. polari):
[tex]\left\lbrace \begin{array}{l l}
x &= \rho \, cos\theta\\
y & =\rho \, sin\theta \\
|J|& = \rho \\
& 0 \leq \theta \leq 2\pi \\
& 0 \leq \rho \leq 1
\end{array}\right.[/tex]
Pertanto l'integrale doppio diventa:
[tex]\displaystyle \int_0^1 \int_0^{2\pi} \rho^3 cos^2\theta \, \; e^{-\rho^2} \, d\theta \, d\rho=[/tex][tex]\displaystyle \int_0^1 \rho^3 \, e^{-\rho^2} \int_0^{2\pi} cos^2\theta\, d\theta \, d\rho[/tex]
Dalla formula inversa del cos(2θ) ricavo che: [tex]cos^2\theta= \dfrac{cos(2\theta)}{2}+\dfrac{1}{2}[/tex]
Sostituisco nell'integrale al posto di cos²(θ) così da ottenere:
[tex]\displaystyle \int_0^1 \rho^3 \, e^{-\rho^2} \large \left\lbrace \int_0^{2\pi} \dfrac{2}{2} \dfrac{cos2\theta}{2} d\theta + \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta \large \right\rbrace \: d\rho=[/tex] [tex]\displaystyle \int_0^1\rho^3 \, e^{-\rho^2} \large \left\lbrace \dfrac{1}{4} [ \sin(2\theta) ]_0^{2\pi}+ \frac{1}{2} \cdot 2\pi \large \right\rbrace \: d\rho[/tex] [tex]=\displaystyle \int_0^1 \, \rho^3 \, e^{-\rho^2} \left\lbrace0 + \pi \right\rbrace d\rho[/tex] [tex]=-\dfrac{\pi}{2}\displaystyle \int_0^1\rho^2 ( -2\rho \, e^{-\rho^2}) d\rho[/tex]
Integro per parti, avendo prima posto:
[tex]\left\lbrace \begin{array}{l l}
f'=-2\rho\, e^{-\rho^2} & \to f=e^{-\rho^2}\\
g =\rho^2 & \to g'=2\rho \\
\end{array}\right.[/tex]
Quindi:
[tex]=-\dfrac{\pi}{2} \large \left\lbrace \displaystyle \left[\rho^2e^{-\rho^2}\displaystyle \right]_0^1 - \displaystyle \int_0^1 2\rho \: e^{-\rho^2} \, d\rho \large \right\rbrace= -\dfrac{\pi}{2} \displaystyle \left\lbrace \dfrac{1}{e} +\displaystyle \left[ e^{-\rho^2} \displaystyle\right]_0^1 \displaystyle \right\rbrace[/tex]= [tex]- \dfrac{\pi}{2}\; \dfrac{2-e}{e} = \dfrac{\pi(e-2)}{2e}[/tex]
Che non è quello che doveva venire! Cioè [tex]\dfrac{\pi(e-1)}{4e}[/tex]
Risposte
non mi sembra che tu abbia fatto errori
L'hai provato? Ti viene come viene a me? Sto impazzendo, l'ho riguardato 3 volte...può essere che ci sia un errore nel libro (Esercitazioni di Analisi Matematica II Marcellini Sbordone)?
Già che ci sono, posso chiedere aiuto per l'esercizio successivo?
Verificare che
[tex]\displaystyle \int \int_B x^2(1+x^2y)\; dx \, dy=\dfrac{15}{4}\pi[/tex]
Dove B è la corona circolare di centro l'origine e raggi 1 e 2.
Operando gli opportuni cambiamenti in coordinate polari ottengo:
[tex]\displaystyle \int_1^2 \int_0^{2\pi} \rho^3 \cos^2 \theta \large\left( 1+ \rho^3 \cos^2\theta \sin \theta) \large \left) \; d\theta \, d\rho=
\underbrace{\int_1^2 \int_0^{2\pi}\rho^3\cos^2\theta \; d\theta \, d\rho }_{A} + \underbrace{\int_1^2 \int_0^{2\pi} \rho^3\cos^2\theta \displaystyle\left[ \rho^3\cos^2\theta \sin \theta\displaystyle\right] \; d\theta \, d\rho}_{B}[/tex]
So risolvere l'integrale A, ma non ho idea di come fare B. C'è qualche trucchetto che magari a me non viene or ora?
Grazie
Già che ci sono, posso chiedere aiuto per l'esercizio successivo?
Verificare che
[tex]\displaystyle \int \int_B x^2(1+x^2y)\; dx \, dy=\dfrac{15}{4}\pi[/tex]
Dove B è la corona circolare di centro l'origine e raggi 1 e 2.
Operando gli opportuni cambiamenti in coordinate polari ottengo:
[tex]\displaystyle \int_1^2 \int_0^{2\pi} \rho^3 \cos^2 \theta \large\left( 1+ \rho^3 \cos^2\theta \sin \theta) \large \left) \; d\theta \, d\rho=
\underbrace{\int_1^2 \int_0^{2\pi}\rho^3\cos^2\theta \; d\theta \, d\rho }_{A} + \underbrace{\int_1^2 \int_0^{2\pi} \rho^3\cos^2\theta \displaystyle\left[ \rho^3\cos^2\theta \sin \theta\displaystyle\right] \; d\theta \, d\rho}_{B}[/tex]
So risolvere l'integrale A, ma non ho idea di come fare B. C'è qualche trucchetto che magari a me non viene or ora?
Grazie
$cos(\theta)^4 sen(\theta)=\frac{d}{d\theta}(-\frac{cos(\theta)^5}{5})$
"alberto86":
$cos(\theta)^4 sen(\theta)=\frac{d}{d\theta}(-\frac{cos(\theta)^5}{5})$
Oibò! Hai ragione! Graazieeee!!
Senti, non è che daresti un'occhiata anche al primo esercizio per vedere se ho sbagliato qualche passaggio? A me continua a non venire...
Verificare che:
[tex]\displaystyle \int \int_B x^2 e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \dfrac{\pi(e-1)}{4e}[/tex]
[...]
[tex]\displaystyle \int_0^1 \rho^3 \, e^{-\rho^2} \large \left\lbrace \int_0^{2\pi} \dfrac{2}{2} \dfrac{cos2\theta}{2} d\theta + \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta \large \right\rbrace \: d\rho=\dots= \dfrac{\pi(e-2)}{2e}[/tex]
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