Integrale doppio in coordinate polari
Salve a tutti.
Devo risolvere questo integrale doppio:
$\int int (xy^2)/(x^2+y^2) dxdy$
con dominio di integrazione:
$D= {(x,y)$ di $R^2 : x<=y$ e $1<=x^2+y^2<=4$
Quindi il dominio è uno spicchio di corona definito per metà quadrante uno, tutto il quadrante due e metà quadrante tre. (in pratica tagliata dalla bisettrice e considerando il lato nord ovest della corona).
In particolare le due circonferenze che formano lo spicchio di corona hanno raggi $1$ e $2$.
Evidentemente mi conviene risolvere in coordinate polari. Trasformando $dxdy$ in $\rhod\rhod\vartheta$
con $1<=\rho<=2$ e $\pi/4<=\vartheta<=5\pi/4$
Il problema è che non so come operare su questo integrale; se avete qualche suggerimento sarebbe ben gradito
Grazie.
Devo risolvere questo integrale doppio:
$\int int (xy^2)/(x^2+y^2) dxdy$
con dominio di integrazione:
$D= {(x,y)$ di $R^2 : x<=y$ e $1<=x^2+y^2<=4$
Quindi il dominio è uno spicchio di corona definito per metà quadrante uno, tutto il quadrante due e metà quadrante tre. (in pratica tagliata dalla bisettrice e considerando il lato nord ovest della corona).
In particolare le due circonferenze che formano lo spicchio di corona hanno raggi $1$ e $2$.
Evidentemente mi conviene risolvere in coordinate polari. Trasformando $dxdy$ in $\rhod\rhod\vartheta$
con $1<=\rho<=2$ e $\pi/4<=\vartheta<=5\pi/4$
Il problema è che non so come operare su questo integrale; se avete qualche suggerimento sarebbe ben gradito
Grazie.
Risposte
Espongo fin dove sono riuscito ad arrivare:
sostituendo con le coordinate polari:
${x=\rhocos(\vartheta)$
$y=\rhosen(\vartheta)$
ottengo:
$\int int \rho^2cos(\vartheta)sen^2(\vartheta)d\rhod\vartheta$
risolvo quindi così:
$\int_1^2 \rho^2d\rho \int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos(\vartheta)sen^2(\vartheta)d\vartheta$
ho provato a sostituire:
$sen^2(\vartheta)=(1-cos^2(\vartheta))$
in questo modo però ottengo:
$\int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos(\vartheta)d\vartheta -\int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos^3(\vartheta)d\vartheta$
Il mio problema ora è proprio la risoluzione dell'integrale:
$\int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos^3(\vartheta)d\vartheta$
Ho tentato alcune strade, ma finisce sempre per complicarsi, eppure la soluzione non sembra improponibile.
Mi sembra che in passato risolsi già questo integrale, ma mi pare con pochi passaggi.
O ricordo male, o usavo sostituzioni trigonometriche che ora mi sfuggono.
Voi come lo risolvereste?
sostituendo con le coordinate polari:
${x=\rhocos(\vartheta)$
$y=\rhosen(\vartheta)$
ottengo:
$\int int \rho^2cos(\vartheta)sen^2(\vartheta)d\rhod\vartheta$
risolvo quindi così:
$\int_1^2 \rho^2d\rho \int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos(\vartheta)sen^2(\vartheta)d\vartheta$
ho provato a sostituire:
$sen^2(\vartheta)=(1-cos^2(\vartheta))$
in questo modo però ottengo:
$\int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos(\vartheta)d\vartheta -\int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos^3(\vartheta)d\vartheta$
Il mio problema ora è proprio la risoluzione dell'integrale:
$\int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos^3(\vartheta)d\vartheta$
Ho tentato alcune strade, ma finisce sempre per complicarsi, eppure la soluzione non sembra improponibile.
Mi sembra che in passato risolsi già questo integrale, ma mi pare con pochi passaggi.
O ricordo male, o usavo sostituzioni trigonometriche che ora mi sfuggono.
Voi come lo risolvereste?
ohu....
ho capito... ho perso 30 minuti per niente! Non ho riconosciuto l'immediatezza del primo integrale
$ \int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos(\vartheta)sen^2(\vartheta)d\vartheta$
che è semplicemente pari a:
$(sen^3(\vartheta))/3$ ... da calcolare negli estremi di integrazione.
Che deficiente....
Chiedo scusa
ho capito... ho perso 30 minuti per niente! Non ho riconosciuto l'immediatezza del primo integrale
$ \int_{5/4\pi}^{\pi/4} cos(\vartheta)sen^2(\vartheta)d\vartheta$
che è semplicemente pari a:
$(sen^3(\vartheta))/3$ ... da calcolare negli estremi di integrazione.
Che deficiente....
Chiedo scusa
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