Integrale doppio in coordinate polari

[Polcio]

Buongiorno,

ho provato l'esame di analisi 2 oggi e una risposta di cui ero sicuro è stata considerata sbagliata. Il quesito era un integrale doppio. Ho riprovato a fare l'integrale più volte ma ogni volta il risultato è coerente con il mio originale. Quindi vorrei chiedere delucidazioni (magari ho sbagliato dominio di integrazione e non me ne sono reso conto, o ho fatto un piccolo errore da qualche parte).

L'esercizio è il seguente:
[tex]\iint_{A \cap B} \frac{x \sqrt{x^2+y^2} }{(1+\sqrt{x^2+y^2}) \cdot y^2 } \,dx\,dy[/tex]

Con [tex]A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}[/tex]
E [tex]B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \in [-y, 0] \}[/tex]

Il mio procedimento:

1) Disegnare il dominio di integrazione, ovvero l'intersezione tra:


a) Il cerchio chiuso di raggio [tex]1[/tex] e centro [tex](0,0)[/tex]
b) [tex]x \in [-y, 0][/tex], ovvero [tex]-y \leq x \leq 0[/tex], quindi [tex]x \leq 0[/tex] e [tex]y \geq -x[/tex]
[/list:u:jv2mu3xv]
[tex]\ \ \ \[/tex]Quindi il dominio di integrazione è uno spicchio di cerchio nel secondo quadrante.

2) Passare alle coordinate polari:



[tex]\iint_{A \cap B} \frac{x \sqrt{x^2+y^2} }{(1+\sqrt{x^2+y^2}) \cdot y^2 } \,dx\,dy[/tex]

diventa

[tex]\iint_{A \cap B} \frac{\rho \cos{\theta} \rho }{(1+\rho) \cdot \rho^2 \sin^2{\theta} } \rho \,d\rho\,d\theta[/tex]

cioè, pulendo un po'

[tex]\iint_{A \cap B} \frac{\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \cdot \frac{\rho}{1 + \rho} \,d\rho\,d\theta[/tex]
[/list:u:jv2mu3xv]

3) Trovare i valori di [tex]\rho[/tex] e [tex]\theta[/tex]



a) [tex]0 \leq \rho \leq 1[/tex]
b) [tex](\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}[/tex] ovvero [tex]\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}[/tex]
[/list:u:jv2mu3xv]

4) Riscrivere l'integrale



[tex]\iint_{A \cap B} \frac{\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \cdot \frac{\rho}{1 + \rho} \,d\rho\,d\theta[/tex]

diventa

[tex]\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1} \frac{\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \cdot \frac{\rho}{1 + \rho} \,d\rho\,d\theta[/tex]
[/list:u:jv2mu3xv]

5) Svolgere l'integrale



[tex]\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1} \frac{\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \cdot \frac{\rho}{1 + \rho} \,d\rho\,d\theta \quad =[/tex]
[tex]= \quad \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \int_{0}^{1} \frac{\rho}{1 + \rho} \,d\rho\,d\theta \quad =[/tex]
[tex]= \quad \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \left( \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{1 + \rho} \right) \,d\rho \right) \,d\theta \quad =[/tex]
[tex]= \quad \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \left( [\rho]_{0}^{1} - \left[ \ln{(1+\rho)} \right]_{0}^{1} \right) \,d\theta \quad =[/tex] (niente valore assoluto nell'ln perchè [tex]\rho>0[/tex])
[tex]= \quad \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \left( 1 - \ln{(2)} \right) \,d\theta \quad =[/tex]
[tex]= \quad \left( 1 - \ln{(2)} \right) \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \,d\theta \quad =[/tex]
sostituisco [tex]t = \sin{\theta}[/tex] e quindi [tex]\,dt = \cos{\theta} \,d\theta[/tex]
[tex]= \quad \left( 1 - \ln{(2)} \right) \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{t^2} \,dt \quad =[/tex]
[tex]= \quad \left( 1 - \ln{(2)} \right) \left[- \frac{1}{t}\right]_{{\frac{3\pi}{4}}}^{{\frac{\pi}{2}}} \quad =[/tex]
[tex]= \quad \left( 1 - \ln{(2)} \right) \left[- \frac{1}{sin{\theta}}\right]_{{\frac{3\pi}{4}}}^{{\frac{\pi}{2}}} \quad =[/tex]
[tex]= \quad \left( 1 - \ln{(2)} \right) \left(- \frac{1}{sin{\frac{\pi}{2}}} + \frac{1}{sin{\frac{3\pi}{4}}}\right) \quad =[/tex]
[tex]= \quad \left( 1 - \ln{(2)} \right) \left(- \frac{1}{1} + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right) \quad =[/tex]
[tex]= \quad \left( 1 - \ln{(2)} \right) \left(\sqrt{2} - 1\right)[/tex]
[/list:u:jv2mu3xv]

Apparentemente la risposta giusta era: [tex]\left( 1 - \ln{(2)} \right) \left(1 - \sqrt{2}\right)[/tex]
[/list:u:jv2mu3xv]

Ho sbagliato qualcosa nel calcolo dell'integrale o del dominio di integrazione?
Thanks in advance.

[anto_zoolander]

Ciao e benvenuto
Hai posto $(3pi) /4 leq theta leq pi/2$
Significherebbe che $(3pi)/4leqpi/2$: è vera questa disuguaglianza?

[Polcio]

Ma porca miseria... Dalla fretta e dall'ansia non l'avevo minimamente notato. Così ci sarebbe "un meno davanti" e torna tutto. Grazie mille!

[anto_zoolander]

Figurati
Anche a me è capitato un errore analogo durante l'esame di analisi 2, ti capisco