Integrale doppio in coordinate polari
Salve a tutti, scrivo qui per chiedere aiuto nella risoluzione di un integrale doppio.
L'integrale è questo: \[ \int\int \cos(x^2+y^2) \text{ d} x \text{ d} y\] esteso al dominio \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid (x-1)^2+y^2\leq1, y\geq 0\}\). La superficie definita dal dominio è quindi l'area piana della semicirconferenza superiore di raggio \(1\) centrata in \(C=(1,0)\).
Passando in coordinate polari attraverso il cambiamento \(x=1+\rho\cos\theta\), \(y=\rho\sin\theta\) e semplificando l'argomento del coseno, ho scritto l'integrale come \[\int_0^\pi \text{d}\theta \int_0^1 \rho\cos(1+\rho^2+2\rho\cos\theta) \text{ d}\rho\]
Il mio problema sorge ora: l'integrale nella variabile \(\rho\) non ammette primitiva in termini di funzioni elementari, quindi presumo dovrà essere calcolato attraverso integrazione numerica. Non avendo molte conoscenze in merito l'unica idea che ho avuto è stata di utilizzare la rappresentazione in serie di potenze del coseno: \(cos(t)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n (t)^{2n}} {(2n)!} \), sostituendo \(t=1+\rho^2+2\rho\cos\theta\) , ho ottenuto \[\int_0^\pi \text{d}\theta \int_0^1 \rho \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n (1+\rho^2+2\rho\cos\theta)^{2n}} {(2n)!} \text{ d}\rho.\]
Se quello che ho scritto è giusto (?), si prosegue integrando per parti? Se non è così altrimenti sapreste dirmi come? Grazie in anticipo!
L'integrale è questo: \[ \int\int \cos(x^2+y^2) \text{ d} x \text{ d} y\] esteso al dominio \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid (x-1)^2+y^2\leq1, y\geq 0\}\). La superficie definita dal dominio è quindi l'area piana della semicirconferenza superiore di raggio \(1\) centrata in \(C=(1,0)\).
Passando in coordinate polari attraverso il cambiamento \(x=1+\rho\cos\theta\), \(y=\rho\sin\theta\) e semplificando l'argomento del coseno, ho scritto l'integrale come \[\int_0^\pi \text{d}\theta \int_0^1 \rho\cos(1+\rho^2+2\rho\cos\theta) \text{ d}\rho\]
Il mio problema sorge ora: l'integrale nella variabile \(\rho\) non ammette primitiva in termini di funzioni elementari, quindi presumo dovrà essere calcolato attraverso integrazione numerica. Non avendo molte conoscenze in merito l'unica idea che ho avuto è stata di utilizzare la rappresentazione in serie di potenze del coseno: \(cos(t)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n (t)^{2n}} {(2n)!} \), sostituendo \(t=1+\rho^2+2\rho\cos\theta\) , ho ottenuto \[\int_0^\pi \text{d}\theta \int_0^1 \rho \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n (1+\rho^2+2\rho\cos\theta)^{2n}} {(2n)!} \text{ d}\rho.\]
Se quello che ho scritto è giusto (?), si prosegue integrando per parti? Se non è così altrimenti sapreste dirmi come? Grazie in anticipo!
Risposte
Io farei la sostituzione $x=rhocostheta$; $y=rhosintheta$
"Vulplasir":
Io farei la sostituzione $x=rhocostheta$; $y=rhosintheta$
E' corretto usare la sostituzione che suggerisci tu anche se la circonferenza non è centrata nell'origine? Cambierebbero gli estremi di integrazione in quel caso?
Certo che è corretto, quelle sostituzioni non hanno niente a che fare con la circonferenza, chiaramente se si ha una circonferenza semplificano molto le cose per quanto riguarda gli estremi di integrazione, ma si possono usare quando ci pare, il problema sarà determinare gli estremi di integrazione.
Grazie per la risposta, mi hai chiarito le idee. Se posso, potresti indicarmi in che modo cambiano gli estremi?
Gli estremi vanno determinati in base all'equazione del dominio.
Sostituisci x=rcostheta e y=rsintheta nelle x e y che definiscono il dominio e risolvendo quelle disequazioni trovi gli estremi
Sostituisci x=rcostheta e y=rsintheta nelle x e y che definiscono il dominio e risolvendo quelle disequazioni trovi gli estremi
Ok ho capito, grazie ancora per l'aiuto!
Titolo: Integrale doppio in coordinate polari
Ho fatto come hai detto tu e ho trovato i nuovi estremi di integrazione e dopo aver risolto l'integrale interno nella variabile \(\rho\) ottengo quest'ultimo, che non riesco a risolvere in questa forma:
\[\int_0^{\pi/2} \sin(4\cos^2\theta) \text{d}\theta\]
Ho provato a svilupparlo in serie ma poi non so come integrarla. Qualcuno saprebbe spiegarmi esattamente i passaggi?
Il risultato dell'integrale è \(\sim 1.59\).
"Vulplasir":
Gli estremi vanno determinati in base all'equazione del dominio.
Sostituisci x=rcostheta e y=rsintheta nelle x e y che definiscono il dominio e risolvendo quelle disequazioni trovi gli estremi
Ho fatto come hai detto tu e ho trovato i nuovi estremi di integrazione e dopo aver risolto l'integrale interno nella variabile \(\rho\) ottengo quest'ultimo, che non riesco a risolvere in questa forma:
\[\int_0^{\pi/2} \sin(4\cos^2\theta) \text{d}\theta\]
Ho provato a svilupparlo in serie ma poi non so come integrarla. Qualcuno saprebbe spiegarmi esattamente i passaggi?
Il risultato dell'integrale è \(\sim 1.59\).
Mah, non saprei, la strada dell'espansione in serie non mi sembra una strada percorribile, direi che semplicemente non è una funzione integrabile in modo elementare
No quella funzione non ammette primitive in forma di funzioni elementari come altri esercizi che mi sono capitati, il problema è che devo comunque dare un'approssimazione del valore dell'integrale con precisione al secondo decimale e non so come fare. Alcune volte l'ho calcolato con somme di Riemann ma non conosco la precisione che ottengo se non dopo aver fatto i conti. Il problema è che è richiesta la soluzione di questi integrali senza avere nessuna nozione di integrazione numerica e quindi non ho idea di come risolverli.
Torno di nuovo su questo problema perché la soluzione di TeM (seppur esaustiva e comprensibile) "non fa al caso mio".
Per quanto l'utilizzo della formula di Cavalieri-Simpson sembri indicata, ci è stato imposto di approssimare l'integrale in questione senza l'utilizzo di strumenti di analisi numerica.
MI domando, oltre a qualche poco fortunato tentativo di manipolazione o di utilizzo dello sviluppo in serie di Taylor, come si potrebbe approssimare tale integrale.
Per riassumere il contenuto del post, l'integrale in questione è \[\int_0^\pi \frac{\sin\left(4\,\cos^2\theta\right)}{2}\,\text{d}\theta\, \]
Il risultato è richiesto con una precisione di due cifre decimali.
Se qualcuno ha qualche idea o suggerimento non posso che ringraziare!
Per quanto l'utilizzo della formula di Cavalieri-Simpson sembri indicata, ci è stato imposto di approssimare l'integrale in questione senza l'utilizzo di strumenti di analisi numerica.
MI domando, oltre a qualche poco fortunato tentativo di manipolazione o di utilizzo dello sviluppo in serie di Taylor, come si potrebbe approssimare tale integrale.
Per riassumere il contenuto del post, l'integrale in questione è \[\int_0^\pi \frac{\sin\left(4\,\cos^2\theta\right)}{2}\,\text{d}\theta\, \]
Il risultato è richiesto con una precisione di due cifre decimali.
Se qualcuno ha qualche idea o suggerimento non posso che ringraziare!
Rinnovo la richiesta d'aiuto..
Un'altra domanda: in generale, quando incontro integrali di questo genere, dove non posso risalire a una primitiva in forma elementare, vorrei sapere come e quando è possibile ottenere un'approssimazione utilizzando gli sviluppi di Taylor.
Nel senso che vorrei sapere di preciso le condizioni necessarie per poter sviluppare in serie e successivamente come fare: in alcuni esercizi svolti ho visto sviluppare la funzione integrale mentre in altri ho visto sviluppare prima l' integranda, e successivamente integrare quella e poi valutarla. Questa cosa mi ha creato abbastanza confusione, come penso abbiate notato.
Un'altra domanda: in generale, quando incontro integrali di questo genere, dove non posso risalire a una primitiva in forma elementare, vorrei sapere come e quando è possibile ottenere un'approssimazione utilizzando gli sviluppi di Taylor.
Nel senso che vorrei sapere di preciso le condizioni necessarie per poter sviluppare in serie e successivamente come fare: in alcuni esercizi svolti ho visto sviluppare la funzione integrale mentre in altri ho visto sviluppare prima l' integranda, e successivamente integrare quella e poi valutarla. Questa cosa mi ha creato abbastanza confusione, come penso abbiate notato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo