Integrale doppio in coordinate polari

[gcan]

$ int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt5) rho ^3(cos^2vartheta +2sin^2vartheta )drho dvartheta $
Come integro questo integrale doppio?
Grazie

[Lory314]

"Giugiu93":$ int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt5) rho ^3(cos^2vartheta +2sin^2vartheta )drho dvartheta $
Come integro questo integrale doppio?
Grazie

$ int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt5) rho ^3(cos^2vartheta +2sin^2vartheta )drho dvartheta = int_(0)^(sqrt5) rho ^3 drho int_(0)^(2pi) (cos^2vartheta +2sin^2vartheta )dvartheta = \frac{sqrt{5}^4}{4} ( int_(0)^(2pi) cos^2vartheta dvartheta + int_(0)^(2pi) 2sin^2vartheta dvartheta ) = ... $

Ora dovrebbe essere facile....

[gcan]

Ok grazie mille, a me ridà $75/4 pi$ giusto?

[Lory314]

"Lory314":[quote="Giugiu93"]$ int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt5) rho ^3(cos^2vartheta +2sin^2vartheta )drho dvartheta $
Come integro questo integrale doppio?
Grazie

$ int_(0)^(2pi) int_(0)^(sqrt5) rho ^3(cos^2vartheta +2sin^2vartheta )drho dvartheta = int_(0)^(sqrt5) rho ^3 drho int_(0)^(2pi) (cos^2vartheta +2sin^2vartheta )dvartheta = \frac{sqrt{5}^4}{4} ( int_(0)^(2pi) cos^2vartheta dvartheta + int_(0)^(2pi) 2sin^2vartheta dvartheta ) = ... $

Ora dovrebbe essere facile....[/quote]

A dire il vero una cosa ancora più facile è usare nell'integranda la formula fondamentale $cos^2vartheta = 1 - sin^2vartheta$, da cui si ha

$
\frac{sqrt{5}^4}{4} ( int_(0)^(2pi) 1 + sin^2vartheta dvartheta ) = 25/4 3 pi = 75/4 pi
$

[gcan]

Perfetto