Integrale doppio improprio con parametro
Salve a tutti, sto avendo qualche problema con gli esercizi di studio della convergenza/divergenza di un integrale doppio improprio.
Prendo questo esercizio come esempio:
\[ \iint\limits_D \frac{x}{\left(x^2 + y^2\right)^{\alpha}}\,\text{d}x\,\text{d}y \] con \(\alpha \in \mathbb{R}\), esteso al dominio \[ D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 1, \; x^2 \le y \le \sqrt{x} \right\}. \]
Vista la forma della funzione integranda ho provato a riscrivere l'integrale utilizzando le coordinate polari.
Ricalcolando gli estremi di integrazione, se non ho sbagliato ottengo:
\[ \int_0^{\pi/2} cos\theta\, \text{d}\theta \int_{f(\theta)}^{g(\theta)} \rho^{2-2\alpha}\,\text{d}\rho\]
dove \[\begin{cases} f(\theta)=\frac{sin\theta}{cos^{2}\theta}\\ g(\theta)=\frac{cos\theta}{sin^{2}\theta}\end{cases}\]
Ecco, a questo punto si può già affermare che l'integrale converge per un qualche $\alpha$? Come si trattano in questi casi estremi del tipo $f(\theta)$ e $g(\theta)$?
Come ultima cosa mi piacerebbe sapere se esiste un modo "standard", se così si può dire, di studiare la convergenza di integrali simili a questo oppure bisogna valutare caso per caso.
Vi ringrazio!
Prendo questo esercizio come esempio:
\[ \iint\limits_D \frac{x}{\left(x^2 + y^2\right)^{\alpha}}\,\text{d}x\,\text{d}y \] con \(\alpha \in \mathbb{R}\), esteso al dominio \[ D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 1, \; x^2 \le y \le \sqrt{x} \right\}. \]
Vista la forma della funzione integranda ho provato a riscrivere l'integrale utilizzando le coordinate polari.
Ricalcolando gli estremi di integrazione, se non ho sbagliato ottengo:
\[ \int_0^{\pi/2} cos\theta\, \text{d}\theta \int_{f(\theta)}^{g(\theta)} \rho^{2-2\alpha}\,\text{d}\rho\]
dove \[\begin{cases} f(\theta)=\frac{sin\theta}{cos^{2}\theta}\\ g(\theta)=\frac{cos\theta}{sin^{2}\theta}\end{cases}\]
Ecco, a questo punto si può già affermare che l'integrale converge per un qualche $\alpha$? Come si trattano in questi casi estremi del tipo $f(\theta)$ e $g(\theta)$?
Come ultima cosa mi piacerebbe sapere se esiste un modo "standard", se così si può dire, di studiare la convergenza di integrali simili a questo oppure bisogna valutare caso per caso.
Vi ringrazio!
Risposte
Ciao, non ho fatto perfettamente i conti ma mi pare che il dominio di integrazione in coordinate polari non sia corretto. Prova a rifare i conti, a me viene:
$0<= \theta <= \pi/2 \quad \wedge \quad 0 <= \rho <= f(\theta)=\min \{ sin(\theta)/cos^2(\theta) , cos(\theta)/sin^2(\theta) \} $
ovvero
$(0 <= \theta <= \pi/4 \wedge 0 <= \rho <= sin(\theta)/cos^2(\theta)) \vee (\pi/4 <= \theta <= \pi/2 \wedge 0 <= \rho <= cos(\theta)/sin^2(\theta))$
Per quanto riguarda la convergenza bisogna rifarsi a quanto visto per gli integrali di una variabile e quindi, avendo tu da integrare $rho^{2-2\alpha}$ in $[0, f(\theta)]$ con $f(\theta)$ limitata per ogni $0 <=theta <= \pi/2$, deve essere $2-2\alpha > -1$ e quindi $\alpha < 3/2$.
$0<= \theta <= \pi/2 \quad \wedge \quad 0 <= \rho <= f(\theta)=\min \{ sin(\theta)/cos^2(\theta) , cos(\theta)/sin^2(\theta) \} $
ovvero
$(0 <= \theta <= \pi/4 \wedge 0 <= \rho <= sin(\theta)/cos^2(\theta)) \vee (\pi/4 <= \theta <= \pi/2 \wedge 0 <= \rho <= cos(\theta)/sin^2(\theta))$
Per quanto riguarda la convergenza bisogna rifarsi a quanto visto per gli integrali di una variabile e quindi, avendo tu da integrare $rho^{2-2\alpha}$ in $[0, f(\theta)]$ con $f(\theta)$ limitata per ogni $0 <=theta <= \pi/2$, deve essere $2-2\alpha > -1$ e quindi $\alpha < 3/2$.
Grazie per la risposta!
Per quanto riguarda l'esercizio:
Hai ragione, ho ricontrollato e in effetti il dominio di integrazione mi risulta come quello che ha scritto tu.
Quindi posso rifarmi ai modelli di integrale improprio in una variabile perché le funzioni (di $\theta$) che definiscono il dominio di integrazione dell'integrale in $\rho$ sono limitate nell'intervallo di integrazione dell'integrale esterno in $\theta$?
Se posso, vorrei chiederti come ci si deve comportare in un caso dove il dominio di integrazione non è limitato:
\[ \iint\limits_D \frac{1}{\left(x^4+y^2\right)^{\alpha}}\,\text{d}x\,\text{dy} \] al variare del parametro \(\alpha \in \mathbb{R}\), dove
\[ D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x \ge 1, \; \frac{x-1}{x} \le y \le x \right\} \]
In questo caso l'integrale in $y$ ha come estremi di integrazione due funzioni di $x$ che però non sono limitate nell'intervallo di integrazione $(1,+\infty)$.
Ecco in questo esercizio (e probabilmente più in generale in questa casistica) non so come muovermi. Avresti qualche dritta da darmi anche qua?
Grazie ancora!
Per quanto riguarda l'esercizio:
"Bremen000":
Ciao, non ho fatto perfettamente i conti ma mi pare che il dominio di integrazione in coordinate polari non sia corretto.
Hai ragione, ho ricontrollato e in effetti il dominio di integrazione mi risulta come quello che ha scritto tu.
Per quanto riguarda la convergenza bisogna rifarsi a quanto visto per gli integrali di una variabile e quindi, avendo tu da integrare $rho^{2-2\alpha}$ in $[0, f(\theta)]$ con $f(\theta)$ limitata per ogni $0 <=theta <= \pi/2$, deve essere $2-2\alpha > -1$ e quindi $\alpha < 3/2$.
Quindi posso rifarmi ai modelli di integrale improprio in una variabile perché le funzioni (di $\theta$) che definiscono il dominio di integrazione dell'integrale in $\rho$ sono limitate nell'intervallo di integrazione dell'integrale esterno in $\theta$?
Se posso, vorrei chiederti come ci si deve comportare in un caso dove il dominio di integrazione non è limitato:
\[ \iint\limits_D \frac{1}{\left(x^4+y^2\right)^{\alpha}}\,\text{d}x\,\text{dy} \] al variare del parametro \(\alpha \in \mathbb{R}\), dove
\[ D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x \ge 1, \; \frac{x-1}{x} \le y \le x \right\} \]
In questo caso l'integrale in $y$ ha come estremi di integrazione due funzioni di $x$ che però non sono limitate nell'intervallo di integrazione $(1,+\infty)$.
Ecco in questo esercizio (e probabilmente più in generale in questa casistica) non so come muovermi. Avresti qualche dritta da darmi anche qua?
Grazie ancora!
Riesumo questo thread perché mi ritrovo spesso a dover svolgere esercizi di questo tipo e non ho ancora fatto chiarezza. Così al posto di aprirne un altro vorrei chiedere se qualcuno saprebbe chiarire i dubbi che ho avuto, scritti nell'ultimo messagio. Grazie in anticipo!
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