Integrale doppio improprio
Salve dovendomi preparare per l'esame di analisi II mi sono imbattuto in questo integrale che non ho saputo risolvere, forse per un errore mio di sostituzione!
$ int int_(D)e^-(sqrt(x)/y)/(y^2(x+1)) \ dx \ dy $ con $ D=( ( x>=0 ),( y>=0 ) ) $
L'integrale dunque è improprio perchè il dominio è rappresentato dal I quadrante. L'idea che ho avuto è stata allora di applicare il limite all'arco di circonferenza nel primo quadrante con $ r rarr +oo $. Provando cosi però la sostituzione in coordinate polari non porta proprio a niente anzi complica molto l'integrale. Come posso procedere?
Grazie
$ int int_(D)e^-(sqrt(x)/y)/(y^2(x+1)) \ dx \ dy $ con $ D=( ( x>=0 ),( y>=0 ) ) $
L'integrale dunque è improprio perchè il dominio è rappresentato dal I quadrante. L'idea che ho avuto è stata allora di applicare il limite all'arco di circonferenza nel primo quadrante con $ r rarr +oo $. Provando cosi però la sostituzione in coordinate polari non porta proprio a niente anzi complica molto l'integrale. Come posso procedere?
Grazie
Risposte
Se non ti piace fare il cambio di coordinate puoi notare che:
$D=D_1 uu D_2$
$D_1={(x,y)inRR^2|x>=0 ^^ 0<=y<=x}$
$D_2={(x,y)inRR^2|x>=0 ^^ y>=x}$
$intint_(D=D_1 uu D_2) f(x,y)dxdy=intint_(D_1 ) f(x,y)dxdy+intint_(D_2) f(x,y)dxdy$
$D=D_1 uu D_2$
$D_1={(x,y)inRR^2|x>=0 ^^ 0<=y<=x}$
$D_2={(x,y)inRR^2|x>=0 ^^ y>=x}$
$intint_(D=D_1 uu D_2) f(x,y)dxdy=intint_(D_1 ) f(x,y)dxdy+intint_(D_2) f(x,y)dxdy$
E in questo caso cosa risolverei? Io farei piu così senza usare le coordinate:
$ int_(0)^(+oo ) 1/((x+1)sqrt(x))dxint_(0)^(+oo ) (sqrt(x)e^(sqrt(x)/y))/y^2 dy $
E il secondo integrale se non ricordo male dovrebbe avere qualche risoluzione semplice...
$ int_(0)^(+oo ) 1/((x+1)sqrt(x))dxint_(0)^(+oo ) (sqrt(x)e^(sqrt(x)/y))/y^2 dy $
E il secondo integrale se non ricordo male dovrebbe avere qualche risoluzione semplice...
[in edit..]
niente?
Ciao!
Perchè non provi osservando che una buona successione crescente di domini invadenti,potrebbe esser ${[0,n]^2}_(n in NN)$?
Non ho fatto i conti collegati a questa scelta,ma ad occhio e croce dovrebbero esser "potabili":
saluti dal web.
Perchè non provi osservando che una buona successione crescente di domini invadenti,potrebbe esser ${[0,n]^2}_(n in NN)$?
Non ho fatto i conti collegati a questa scelta,ma ad occhio e croce dovrebbero esser "potabili":
saluti dal web.
Ma semplicemente in cartesiane hai provato? Se scegli l'ordine di integrazione giusto ce la fai, la funzione di $y$ si può integrare: $int_(0)^(+oo) dx int_(0)^(+oo) dy e^(-sqrt(x)/y)/(y^2(x+1)) = [ -1/y = t, dy/y^2 = dt ] = int_(0)^(+oo) dx int_(-oo)^(0) dt e^(sqrt(x)t)/(x+1) = $
$ int_(0)^(+oo) dx (e^(sqrt(x)t)/(sqrt(x)(x+1)))_(t=-oo)^(t=0) = int_(0)^(+oo) dx 1/(sqrt(x)(x+1)) $.
Se sostituisci $sqrt(x) = s$ ora dovresti farcela anche da solo!
$ int_(0)^(+oo) dx (e^(sqrt(x)t)/(sqrt(x)(x+1)))_(t=-oo)^(t=0) = int_(0)^(+oo) dx 1/(sqrt(x)(x+1)) $.
Se sostituisci $sqrt(x) = s$ ora dovresti farcela anche da solo!
Aspetta come fai ad ottenere l'ultimo passaggio? perchè -inf?
"Giuly19":
$ int_(0)^(+oo) dx (e^(sqrt(x)t)/(sqrt(x)(x+1)))_(t=-oo)^(t=0) = int_(0)^(+oo) dx 1/(sqrt(x)(x+1)) $.
Guarda bene la sostituzione che ho fatto!
Ah si ok, gli estremi per la sostituzione cambiano, ma la derivata $ d/dt e^(sqrt(x)t) $ non è uguale a $ sqrt(x) e^(sqrt(x)t) $??
Appunto..
allora non riesco a capire proprio perchè scrivi
$ e^(sqrt(x)t)/(sqrt(x)(x+1)) $ invece di $ (sqrt(x)e^(sqrt(x)t)/(x+1)) $
scusami
$ e^(sqrt(x)t)/(sqrt(x)(x+1)) $ invece di $ (sqrt(x)e^(sqrt(x)t)/(x+1)) $
scusami
Perchè ho integrato in t e non derivato!
Oddio mio che svista scusami xD provo a rivedere tutto e rifare i conti grazie
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