Integrale doppio [II]

[Rebdiluca]

Ciao, sto svolgendo il seguente esercizio: calcolare $ int int_(A)^() y^2dx dy $, dove $ A={(x,y)in R^2: (x^2+y^2)^3-y^2<0} $.

Ho preferito scrivere in coordinate polari rispetto all'origine l'insieme A e ottengo (controllate i calcoli ) $ 0 $ I=int_(0)^(pi) dvartheta int_(0)^(sqrt(sinvartheta)) rho^3 sin^2(vartheta) drho $. Continuare non dovrebbe essere assai complicato...quello che mi interessa sapere è se il ragionamento è corretto! Grazie!

[billyballo2123]

Attenzione! $(x^2+y^2)^3-y^2<0$ diventa $\rho^2(\rho^4-sin^2\vartheta)<0$, dunque
\[
\rho^4-sin^2\vartheta<0 \\
\rho^4 \rho^2<|sin\vartheta| \\
0<\rho<\sqrt{|sin\vartheta|}
\]
dunque $0<\vartheta<2\pi$ e $0<\rho<\sqrt{|sin\vartheta|}$.