Integrale doppio già svolto (dove è che sbaglio???)
Per favore attenetevi alla mia soluzione che adesso vi posterò:
$\int int x*y dxdy$
dove il dominio= $ (x,y)\epsilonRR^2: x>=0, y>=x^2, x^2+y^2<=1$
Inizio svolgendo il sistema per trovare il punto di intersezione fra la parabola e la circonferenza.
$\{(y = x^2),(y^2+x^2=1):}$
e ottengo:
$x=sqrt(2*(sqrt(5) - 1))/(2)$
$y=(sqrt(5)-1)/2$
Adesso svolgo la somma di due integrali con i seguenti domini.
Dove $x=((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4$ è l'equazione della retta
1)$sqrt(1-y^2)<=x<=((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4$ e $0<=y<=1$
2)$0<=y<=(sqrt(5)-1)/2$ e $((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4<=x<=sqrt(y)$
Adesso risolvo la somma dei due integrali:
$\int_0^1 int_sqrt(1-y^2)^(((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4) x*y dxdy+\int_0^((sqrt(5)-1)/2) int_(((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4)^sqrt(y) x*y dxdy$
Come risultato ottengo $(5*sqrt(5))/48-7/48=0,08709$
quando invece dovrei ottenere $(19*sqrt(5)-39)/48=0.07261$
Sono certo che esistono altri mille modi più facili ma per favore attenetevi alla mia di soluzione e spiegatemi per favore in cosa è che sbaglio.
Grazie mille in anticipo.
$\int int x*y dxdy$
dove il dominio= $ (x,y)\epsilonRR^2: x>=0, y>=x^2, x^2+y^2<=1$
Inizio svolgendo il sistema per trovare il punto di intersezione fra la parabola e la circonferenza.
$\{(y = x^2),(y^2+x^2=1):}$
e ottengo:
$x=sqrt(2*(sqrt(5) - 1))/(2)$
$y=(sqrt(5)-1)/2$
Adesso svolgo la somma di due integrali con i seguenti domini.
Dove $x=((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4$ è l'equazione della retta
1)$sqrt(1-y^2)<=x<=((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4$ e $0<=y<=1$
2)$0<=y<=(sqrt(5)-1)/2$ e $((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4<=x<=sqrt(y)$
Adesso risolvo la somma dei due integrali:
$\int_0^1 int_sqrt(1-y^2)^(((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4) x*y dxdy+\int_0^((sqrt(5)-1)/2) int_(((sqrt(5)+1)*sqrt(2*(sqrt(5)-1))*y)/4)^sqrt(y) x*y dxdy$
Come risultato ottengo $(5*sqrt(5))/48-7/48=0,08709$
quando invece dovrei ottenere $(19*sqrt(5)-39)/48=0.07261$
Sono certo che esistono altri mille modi più facili ma per favore attenetevi alla mia di soluzione e spiegatemi per favore in cosa è che sbaglio.
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Ho svolto il tuo esercizio.
E' lunghetto ed è su un foglio di carta di cui ho fatto la foto.
Non l'ho messo in bella copia, e l'andamento non è neanche regolare
.
Devi cercare in mezzo alle scritte di capire quello che ho fatto.
Probabilmente non ci capirai nulla nei miei scarabocchi. Mi spiace..... non mi va di ricorpiarlo...
Il risultato finale mi viene un $(11\sqrt 5 -13) / 48$ circa 0,242
I tuoi risultati mi sembrano un po' bassini come valore.... tieni conto che stiamo parlando di un'area che la forma approssimativa di uno spicchio di cerchio. Se a spanne (molto incirca) diciamo che 1/8 del cerchio dovremmo ottenere $\pi / 8$, mentre i tuoi risultati sono sensibilmente + bassi.
Non ti assicuro che il mio sia giusto, almeno mi sembra plausibile però.
Se la foto si vede a metà apri il link
http://i54.tinypic.com/2dt6651.jpg
E' lunghetto ed è su un foglio di carta di cui ho fatto la foto.
Non l'ho messo in bella copia, e l'andamento non è neanche regolare
.Devi cercare in mezzo alle scritte di capire quello che ho fatto.
Probabilmente non ci capirai nulla nei miei scarabocchi. Mi spiace..... non mi va di ricorpiarlo...
Il risultato finale mi viene un $(11\sqrt 5 -13) / 48$ circa 0,242
I tuoi risultati mi sembrano un po' bassini come valore.... tieni conto che stiamo parlando di un'area che la forma approssimativa di uno spicchio di cerchio. Se a spanne (molto incirca) diciamo che 1/8 del cerchio dovremmo ottenere $\pi / 8$, mentre i tuoi risultati sono sensibilmente + bassi.
Non ti assicuro che il mio sia giusto, almeno mi sembra plausibile però.
Se la foto si vede a metà apri il link
http://i54.tinypic.com/2dt6651.jpg
Ti ringrazio e apprezzo tantissimo lo sforzo.
Adesso è tardi quindi non penso di applicarmici subito, penso che rimanderò il tutto a domani mattina.
Però alla fine del mio svolgimento come puoi notare ci sono due risultati quello ottenuto da me e quello che mi da il libro (Marcellini Sbordone).
Il vero risultato è questo che ti incollo nuovamente.
$(19⋅sqrt(5)−39)/48=0.07261$
Adesso è tardi quindi non penso di applicarmici subito, penso che rimanderò il tutto a domani mattina.
Però alla fine del mio svolgimento come puoi notare ci sono due risultati quello ottenuto da me e quello che mi da il libro (Marcellini Sbordone).
Il vero risultato è questo che ti incollo nuovamente.
$(19⋅sqrt(5)−39)/48=0.07261$
Saresti cosi gentile da inviarmi i domini da te utilizzati??? o meglio scrivermi l'integrale doppio definito perchè ci sono delle cose del tuo svolgimento che non mi sono tanto chiare forse per una mia svista.
Un'altra cosa come puoi notare il mio risultato si avvicina molto a quello originale in cosa pensi possa avere sbagliato nel mio svolgimento???
Un'altra cosa come puoi notare il mio risultato si avvicina molto a quello originale in cosa pensi possa avere sbagliato nel mio svolgimento???
Zaion89, a mio modesto parere il tuo risultato
$(5*sqrt(5)-7)/48$
è corretto.
Il perchè è presto detto:
1- ho studiato anch'io sul Marcellini Sbordone e, se non è cambiato, aveva un discreto numero di errori...
2- (che è anche la motivazione più importante) ho rifatto i conti utilizzando domini d'integrazione diversi dal tuo (peraltro davvero poco pratico), rispettivamente prendendoli normali all'asse x e all'asse y, e ottengo in entrambi i casi lo stesso risultato*:
dominio normale all'asse x
$\int_0^(sqrt((sqrt(5)-1)/2))int_0^sqrt(1-x^2)xydxdy-\int_0^(sqrt((sqrt(5)-1)/2))int_0^x^2xydxdy=(5*sqrt(5)-7)/48$
dominio normale all'asse y
$\int_0^((sqrt(5)-1)/2)int_0^sqrt(y)xydxdy+\int_((sqrt(5)-1)/2)^1int_0^sqrt(1-y^2)xydxdy=(5*sqrt(5)-7)/48$
* per pigrizia ho dato in pasto i calcoli a mathematica 7.0
Per quanto riguarda quanto detto da Quinzio, il discorso della stima dell'area (per "validare" o meno il risultato) andrebbe bene se stessimo integrando l'unità, mentre nel nostro caso abbiamo una funzione.
Infatti, per esempio
$\int_0^1int_0^sqrt(1-y^2)1dxdy=\pi/4$ (area di un quarto di cerchio di raggio 1)
ma $\int_0^1int_0^sqrt(1-y^2)x^2y^2dxdy=\pi/96$
$(5*sqrt(5)-7)/48$
è corretto.
Il perchè è presto detto:
1- ho studiato anch'io sul Marcellini Sbordone e, se non è cambiato, aveva un discreto numero di errori...
2- (che è anche la motivazione più importante) ho rifatto i conti utilizzando domini d'integrazione diversi dal tuo (peraltro davvero poco pratico), rispettivamente prendendoli normali all'asse x e all'asse y, e ottengo in entrambi i casi lo stesso risultato*:
dominio normale all'asse x
$\int_0^(sqrt((sqrt(5)-1)/2))int_0^sqrt(1-x^2)xydxdy-\int_0^(sqrt((sqrt(5)-1)/2))int_0^x^2xydxdy=(5*sqrt(5)-7)/48$
dominio normale all'asse y
$\int_0^((sqrt(5)-1)/2)int_0^sqrt(y)xydxdy+\int_((sqrt(5)-1)/2)^1int_0^sqrt(1-y^2)xydxdy=(5*sqrt(5)-7)/48$
* per pigrizia ho dato in pasto i calcoli a mathematica 7.0
Per quanto riguarda quanto detto da Quinzio, il discorso della stima dell'area (per "validare" o meno il risultato) andrebbe bene se stessimo integrando l'unità, mentre nel nostro caso abbiamo una funzione.
Infatti, per esempio
$\int_0^1int_0^sqrt(1-y^2)1dxdy=\pi/4$ (area di un quarto di cerchio di raggio 1)
ma $\int_0^1int_0^sqrt(1-y^2)x^2y^2dxdy=\pi/96$
Scusate la domanda - sicuramente scema vista la mia scarsità in materia - ma il valore di quell'integrale corrisponde all'area del cerchio $x^2=y^2$ che sta al di sotto dell'intersezione con la parabola $x^2=y$ o no? 
No, l'area dell'intersezione che dici tu la troveresti se la funzione da integrare fosse $f(x,y)=1$, che poi se guardi bene, l'esempio diventa appunto:
$\int_0^1int_0^(sqrt(1-y^2)) 1 dxdy=\int_0^1sqrt(1-y^2)dy$
e infatti perchè "avventurarsi" in un integrale doppio quando questo si poteva calcolare con un semplice integrale singolo (i.e. il membro di destra della precedente formula)?
Quando hai una funzione $f(x,y)$ devi pensare al suo grafico 3D; poichè puoi proiettarlo su un qualsiasi piano, quando hai un dominio d'integrazione su un piano (nel nostro caso quello x,y) l'integrale doppio rappresenta il volume del solido che la funzione sottende nel dominio d'integrazione, tranne che nel caso $f(x,y)=1$ in cui l'integrale doppio rappresenta proprio l'area del dominio d'integrazione.
In buona sostanza, l'area su un piano la puoi calcolare:
- con l'integrale singolo del dominio d'integrazione (es. $\int_0^1sqrt(1-y^2)dy$)
- con l'integrale doppio della funzione $f(x,y)=1$ (es. $\int_0^1int_0^(sqrt(1-y^2)) 1 dxdy$)
Ragionamento analogo per il volume (vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ ... i_e_tripli)
Nell'esempio riportato nel precedente link hai infatti che, detto D il dominio d'integrazione (i.e. la base del solido) sul piano in cui si proietta la $f(x,y)$ (i.e. $f(x,y)=5$, mentre la $f(x,y,z)=1$ perchè si ragiona in modo analogo a quanto fatto per l'es. dell'area):
$\intintint_P 1dxdydz=\int_2^8int_2^6int_0^5 1dxdydz=\int_2^8int_2^6 5dxdy=\intint_D 5dxdy$
$\int_0^1int_0^(sqrt(1-y^2)) 1 dxdy=\int_0^1sqrt(1-y^2)dy$
e infatti perchè "avventurarsi" in un integrale doppio quando questo si poteva calcolare con un semplice integrale singolo (i.e. il membro di destra della precedente formula)?
Quando hai una funzione $f(x,y)$ devi pensare al suo grafico 3D; poichè puoi proiettarlo su un qualsiasi piano, quando hai un dominio d'integrazione su un piano (nel nostro caso quello x,y) l'integrale doppio rappresenta il volume del solido che la funzione sottende nel dominio d'integrazione, tranne che nel caso $f(x,y)=1$ in cui l'integrale doppio rappresenta proprio l'area del dominio d'integrazione.
In buona sostanza, l'area su un piano la puoi calcolare:
- con l'integrale singolo del dominio d'integrazione (es. $\int_0^1sqrt(1-y^2)dy$)
- con l'integrale doppio della funzione $f(x,y)=1$ (es. $\int_0^1int_0^(sqrt(1-y^2)) 1 dxdy$)
Ragionamento analogo per il volume (vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ ... i_e_tripli)
Nell'esempio riportato nel precedente link hai infatti che, detto D il dominio d'integrazione (i.e. la base del solido) sul piano in cui si proietta la $f(x,y)$ (i.e. $f(x,y)=5$, mentre la $f(x,y,z)=1$ perchè si ragiona in modo analogo a quanto fatto per l'es. dell'area):
$\intintint_P 1dxdydz=\int_2^8int_2^6int_0^5 1dxdydz=\int_2^8int_2^6 5dxdy=\intint_D 5dxdy$
"lobacevskij":
Per quanto riguarda quanto detto da Quinzio, ..........
ok ok
Penso di aver integrato una parte sbagliata di area, senza pensarci troppo....
"Rggb":
Scusate la domanda - sicuramente scema vista la mia scarsità in materia - ma il valore di quell'integrale corrisponde all'area del cerchio $x^2=y^2$ che sta al di sotto dell'intersezione con la parabola $x^2=y$ o no?
No, che sta sopra (e a dx dell'asse Y)
lobacevskij
Grazie mille
Grazie mille
Di nulla, figurati
PS: ok, i conti come detto li ha fatti il software, però penso che converrai con me sul fatto che i due domini che ho usato io, specialmente quello normale all'asse y, implicavano conti più semplici,no? Ti suggerisco quindi, quando possibile, di pensare i domini come normali ad uno degli assi "canonici" x o y (nel caso di funzioni in 2 variabili) o ad uno dei piani "canonici" x,y o x,z o y,z (nel caso di funzioni in 3 variabili)
PS: ok, i conti come detto li ha fatti il software, però penso che converrai con me sul fatto che i due domini che ho usato io, specialmente quello normale all'asse y, implicavano conti più semplici,no? Ti suggerisco quindi, quando possibile, di pensare i domini come normali ad uno degli assi "canonici" x o y (nel caso di funzioni in 2 variabili) o ad uno dei piani "canonici" x,y o x,z o y,z (nel caso di funzioni in 3 variabili)
Scusate, non vorrei dire una cosa che forse avete già detto, ma il dominio di integrazione non risulta semplicemente
[tex]$D=\left\{0\le x\le\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},\ x^2\le y\le\sqrt{1-x^2}\right\}$[/tex]
No, perché vedo tanti integrali spezzati in due e non ne capisco il motivo...
[tex]$D=\left\{0\le x\le\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},\ x^2\le y\le\sqrt{1-x^2}\right\}$[/tex]
No, perché vedo tanti integrali spezzati in due e non ne capisco il motivo...
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