Integrale doppio generalizzato con valore assoluto

[Vicia]

Salve ho questo integrale:
$\int int |xy|/(x^2+y^2) dxdy$
$D={(x,y)inRR^2 : x^2+y^2<=R^2}$

Come dovrei procedere?

[Bremen000]

Ciao, prova in coordinate polari!

[Vicia]

Si ci ho pensato alche io, il mio dubbio riguarda il valore assoluto e gli estremi in cui è definito l'angolo $\theta$

[Vicia]

Effettuando il cambio di variabili:
$\int int \rhocos\thetasen\theta d\rhod\theta$
Con $0<=\rho<=R $ e $ 0<=\theta<=2\pi$
Integrando con questi estremi viene zero, no?

[pilloeffe]

Ciao Vicia,

"Vicia":Integrando con questi estremi viene zero, no?

Se l'integrale fosse quello che hai scritto sì, ma in realtà c'è il modulo, che non puoi ignorare:

$\int int \rho|cos\theta sin\theta |d\rhod\theta $

Per cui, salvo errori, nel dominio proposto mi risulta:

$\int int |xy|/(x^2+y^2) dxdy = \int int \rho|cos\theta sin\theta |d\rhod \theta = R^2$

[Vicia]

Puoi postare come hai fatto a giungere a quel risultato?
Non lo consideri come integrale generale? Quindi calcolandoti poi il limite per R che tende ad infinito?

[pilloeffe]

"Vicia":Puoi postare come hai fatto a giungere a quel risultato?

Sì, brevemente:

$\int_{0}^R \rho d\rho = frac{R^2}{2} $

$\int_{0}^{2\pi} |cos\theta sin\theta | d\theta = 2 $

da cui segue il risultato $R^2$.

"Vicia":Non lo consideri come integrale generale? Quindi calcolandoti poi il limite per R che tende ad infinito?

Non ti seguo: non vedo in alcuna parte dei tuoi post qualcosa che mi dica che $R \to \+infty$...

"Vicia":$D={(x,y) in RR^2 : x^2+y^2<=R^2}$

[Vicia]

"pilloeffe":
$\int_{0}^{2\pi} |cos\theta sin\theta | d\theta = 2 $

Perchè è uguale a 2? Come lo suddividi qui l'integrale?

Non ti seguo: non vedo in alcuna parte dei tuoi post qualcosa che mi dica che $R \to \+infty$...

No non c'è scritto, ma il generale quando si indica R^2 la nostra funzione ha raggio inifito, non sappiamo che raggioha, per questo l'ho definito con integrale generale. O almeno il professore quando c'erano domini dl genere li ha sempre trattati come integrali generali

[pilloeffe]

"Vicia":Perchè è uguale a 2? Come lo suddividi qui l'integrale?

Prova a pensare quando $cos x$ e $sin x $ hanno segno concorde: I e III quadrante. Qui il modulo si può togliere e resta $cos x sin x$. Hanno invece segno discorde nel II e IV quadrante, e qui $|cos x sin x| = - cos x sin x$.
Più formalmente:

$|cos x sin x | := {(cos x sin x, text{ per } 0 < x < pi/2 text{ e per } \pi < x < frac{3\pi}{2}),(- cos x sin x, text{ per } pi/2 < x < pi text{ e per } frac{3\pi}{2} < x < 2\pi):}$

Se ora tieni presente che $\int cos x sin x dx = - frac{1}{2}cos^2 x + c $... Dopo qualche passaggio dovresti pervenire al risultato.

[Vicia]

Perfetto ho capito, grazie