Integrale doppio( generalizzato?)
Ciao a tutti ho un dubbio per la risoluzione di questo integrale.
$\int int x/(x^2+y^2) dxdy$ da calcolare rispetto il dominio $D={(x, y) : x^2 + y^2 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}$
Le soluzioni lo trattano come integrale generalizzato, ma non capisco perchè. L'ho risolto considerando l'intersione tra la bisettrice del primo terzo quadrante e l'arco di circonferenza positivo, effettuando un campio di variabili in coordinate polari.
Il risultato mi viene uguale, ma vorrei capire perchè lo tratta come generalizzato(anche se secondo me non lo è)
$\int int x/(x^2+y^2) dxdy$ da calcolare rispetto il dominio $D={(x, y) : x^2 + y^2 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}$
Le soluzioni lo trattano come integrale generalizzato, ma non capisco perchè. L'ho risolto considerando l'intersione tra la bisettrice del primo terzo quadrante e l'arco di circonferenza positivo, effettuando un campio di variabili in coordinate polari.
Il risultato mi viene uguale, ma vorrei capire perchè lo tratta come generalizzato(anche se secondo me non lo è)
Risposte
Si, ma cos'è che fa il tuo libro? Se riporti i passaggi ci si può dare un'occhiata.
Qui c'è il procedimento
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Beh l'integrale passa per $(0,0)$ dove la funzione diverge, quindi il procedimento mi sembra corretto se non necessario, tu come hai fatto? Cerca di scrivere mettendo le formule tra simboli del dollaro
$così$
Ho effettuato un cambiamento di coordinate:
$x=\rhocos\theta$
$y=\rhosen\theta$
Trovando poi la matrice jacobiana J come: $J=|(cos\theta,-\rhosen\theta),(sen\theta,\rhocos\theta)|= \rho$
quindi $dxdy=Jd\rhod\theta$
Poi ho eseguito le sostituzioni nell'integrale iniziale, cambiando ovviamente gli intervalli e avendo come dominio:
$D={(\rho,\theta) : 0<=\rho<=1, 0<=\theta<=\pi}$
Risolvendo l'intergale mi viene $sqrt2/2$ .
E' una coincidenza che coincide il risultato?
A livello grafico l'ho interpretato così
$x=\rhocos\theta$
$y=\rhosen\theta$
Trovando poi la matrice jacobiana J come: $J=|(cos\theta,-\rhosen\theta),(sen\theta,\rhocos\theta)|= \rho$
quindi $dxdy=Jd\rhod\theta$
Poi ho eseguito le sostituzioni nell'integrale iniziale, cambiando ovviamente gli intervalli e avendo come dominio:
$D={(\rho,\theta) : 0<=\rho<=1, 0<=\theta<=\pi}$
Risolvendo l'intergale mi viene $sqrt2/2$ .
E' una coincidenza che coincide il risultato?
A livello grafico l'ho interpretato così
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Si, il dominio l'hai interpretato bene, il problema era appunto che $(0,0)$ appartiene al dominio. Se il risultato coincide allora è giusto, solo meno "rigoroso".
Va bene, grazie 
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