Integrale doppio generalizzato
Salve a tutti ragazzi, preparando l'esame di AII mi sono imbattuto in questo integrale, che ho provato a calcolare cercando di applicare alcune nozioni teoriche... Mi chiedo se abbia operato in modo corretto!
Calcolare $intint_T(1)/(1+x^2+y^2) dxdy$, essendo
$T={(x,y): x>=0 , 0<=y<=1}$.
L'insieme T non è limitato, quindi siamo chiaramente in presenza di un integrale generalizzato.
Per verificare che $f(x,y)$ sia integrabile in senso generalizzato in $T$, si deve dimostrare che
${intint_X|(1)/(1+x^2+y^2)| dxdy}$ con X sottoinsieme di T compatto e misurabile sia limitato superiormente.
Sia $X={(x,y): 0<=x<=r , 0<=y<=1}$.
Si calcoli $intint_X(1)/(1+x^2+y^2) dxdy$.
Applicando la formula di riduzione risulta:
$int_0^1dyint_0^r (1)/(1+x^2+y^2) dx$, da cui, svolgendo alcuni calcoli, si arriva a:
$int_0^1 1/sqrt(1+y^2)*arctg(r/sqrt(1+y^2))dy$.
A questo punto, senza voglia di cimentarmi a fare questo integrale ho provato a seguire una via alternativa, quella della teoria di Lebesgue. Applicando la formula di Fubini, infatti, l'integrale di partenza diventa:
$int_0^1dyint_0^(+infty) (1)/(1+x^2+y^2) dx$
Per il teorema di Tonelli $f(x,y)$ è integrabile secondo Lebesgue se e solo se esiste finito, l'integrale suddetto.
Risolvendolo si nota che l'integrale in $dx$ non è altro che il limite per r tendente a infinito di $1/sqrt(1+y^2)*arctg(r/sqrt(1+y^2))$ da cui segue ancora che:
$int_0^1 1/sqrt(1+y^2) * pi/2 dy = pi/2*ln(1+sqrt(2))$.
La funzione è quindi integrabile secondo Lebesgue e il risultato dell'integrale è proprio quello appena trovato.
E' corretto il procedimento?
Calcolare $intint_T(1)/(1+x^2+y^2) dxdy$, essendo
$T={(x,y): x>=0 , 0<=y<=1}$.
L'insieme T non è limitato, quindi siamo chiaramente in presenza di un integrale generalizzato.
Per verificare che $f(x,y)$ sia integrabile in senso generalizzato in $T$, si deve dimostrare che
${intint_X|(1)/(1+x^2+y^2)| dxdy}$ con X sottoinsieme di T compatto e misurabile sia limitato superiormente.
Sia $X={(x,y): 0<=x<=r , 0<=y<=1}$.
Si calcoli $intint_X(1)/(1+x^2+y^2) dxdy$.
Applicando la formula di riduzione risulta:
$int_0^1dyint_0^r (1)/(1+x^2+y^2) dx$, da cui, svolgendo alcuni calcoli, si arriva a:
$int_0^1 1/sqrt(1+y^2)*arctg(r/sqrt(1+y^2))dy$.
A questo punto, senza voglia di cimentarmi a fare questo integrale ho provato a seguire una via alternativa, quella della teoria di Lebesgue. Applicando la formula di Fubini, infatti, l'integrale di partenza diventa:
$int_0^1dyint_0^(+infty) (1)/(1+x^2+y^2) dx$
Per il teorema di Tonelli $f(x,y)$ è integrabile secondo Lebesgue se e solo se esiste finito, l'integrale suddetto.
Risolvendolo si nota che l'integrale in $dx$ non è altro che il limite per r tendente a infinito di $1/sqrt(1+y^2)*arctg(r/sqrt(1+y^2))$ da cui segue ancora che:
$int_0^1 1/sqrt(1+y^2) * pi/2 dy = pi/2*ln(1+sqrt(2))$.
La funzione è quindi integrabile secondo Lebesgue e il risultato dell'integrale è proprio quello appena trovato.
E' corretto il procedimento?
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