Integrale doppio esercizio

[iphonebean]

Ciao a tutti ragazzi, non riesco a risolvere il seguente integrale doppio:

$ int int_(A)^()x/(x^2+y^2+1) dx dy ; A={(x,y)in R^2: x^2+y^2<= 2; y> -x; y> x} $

Ho provato a risolverlo tramite le coordinate polari, giungendo al seguente integrale:

$ int_(0)^(sqrt(2) )rho^2/(rho^2+1 )drho int_(pi/4)^(3/4pi)cosvartheta dvartheta $

Arrivato qui, l'integrale: $ int_(pi/4)^(3/4pi)cosvartheta dvartheta $ risulta $ 0 $, quindi suppongo di sbagliare qualcosa, ma non riesco a capire cosa, potreste gentilmente aiutarmi, grazie in anticipo.

[gordnbrn]

Il dominio d'integrazione è simmetrico rispetto all'asse y e $f(-x,y)=-f(x,y)$. Io mi preoccuperei se, calcolandolo esplicitamente, cosa che potrebbe anche non risultare gradita, fosse diverso da zero.

[iphonebean]

Grazie della risposta; avevo pensato fosse una cose del genere ma non mi era ancora mai successa, potresti gentilmente spiegarmi come funziona quello che hai scritto
Grazie

[gio73]

Vediamo se io ho capito gor

noi dobbiamo svolgere quell'integrale su uno "spicchietto" (settore circolare) dell cerchio di raggio $sqrt2$ centrato nell'origine, ora quello spicchietto è tagliato perfettamente a metà dall'asse y,isn't it?

la nostra funzione, a parità della coordinata y, assume valori opposti se mettiamo ascisse (coordinate x) opposte, dunque se noi troviamo un certo valore dell'integrale a sinistra dell'asse y, avremo il valore opposto a destra, ma dovendo sommarli otteremo invariabilmente 0.

[gordnbrn]

e scusa il ritardo.