Integrale doppio e successione di funzioni
Buongiorno a tutti, ho difficoltà a svolgere un esercizio sull'integrale dei termini e del limite di una successione di funzioni.
Siano $$E=\{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 : |x|\geq 1 , |y| \geq 1\} \cup [\text{-}1,1]^2$$ $$f_n : E \longrightarrow \mathbb{R} , \; \; f_n (x,y) = \frac{y^2 arctan(nx)}{nx^2 y^4 + 1}$$
a) Dimostrare che $E \in \mathcal{L} (\mathbb{R} ^2)$ (Ovviamente $\mathcal{L} (\mathbb{R} ^2)$ è la $\sigma$-algebra di Lebesgue)
b) Dimostrare che $f_n$ è sommabile su $E$ per ogni $n \in \mathbb{N}$
c) Calcolare, se esiste, $ \lim_{n\to\infty} \int_E f_n \ dxdy $
d) Calcolare, se esiste, $ \lim_{n\to\infty} \int_E |f_n| \ dxdy $
Per il punto a) basta osservare che $E$ è chiuso, ma sugli altri punti sono piuttosto in difficoltà.
Ho notato che $|f_n(x,y)| \leq \frac{\pi}{2} \frac{y^2}{nx^2 y^4} \leq \frac{\pi}{2} \frac{1}{x^2 y^2}=:g(x,y)$.
Mi sembra che, se $g$ fosse sommabile, il punto b) sarebbe automaticamente dimostrato e c) e d) verrebbero entrambi $0$ per il teorema di convergenza dominata, tuttavia non riesco a capire come calcolare $ \int_E g \ dxdy $.
Qualcuno potrebbe controllare se il mio ragionamento è giusto e magari aiutarmi a calcolare l'integrale?
Siano $$E=\{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 : |x|\geq 1 , |y| \geq 1\} \cup [\text{-}1,1]^2$$ $$f_n : E \longrightarrow \mathbb{R} , \; \; f_n (x,y) = \frac{y^2 arctan(nx)}{nx^2 y^4 + 1}$$
a) Dimostrare che $E \in \mathcal{L} (\mathbb{R} ^2)$ (Ovviamente $\mathcal{L} (\mathbb{R} ^2)$ è la $\sigma$-algebra di Lebesgue)
b) Dimostrare che $f_n$ è sommabile su $E$ per ogni $n \in \mathbb{N}$
c) Calcolare, se esiste, $ \lim_{n\to\infty} \int_E f_n \ dxdy $
d) Calcolare, se esiste, $ \lim_{n\to\infty} \int_E |f_n| \ dxdy $
Per il punto a) basta osservare che $E$ è chiuso, ma sugli altri punti sono piuttosto in difficoltà.
Ho notato che $|f_n(x,y)| \leq \frac{\pi}{2} \frac{y^2}{nx^2 y^4} \leq \frac{\pi}{2} \frac{1}{x^2 y^2}=:g(x,y)$.
Mi sembra che, se $g$ fosse sommabile, il punto b) sarebbe automaticamente dimostrato e c) e d) verrebbero entrambi $0$ per il teorema di convergenza dominata, tuttavia non riesco a capire come calcolare $ \int_E g \ dxdy $.
Qualcuno potrebbe controllare se il mio ragionamento è giusto e magari aiutarmi a calcolare l'integrale?
Risposte
basta pensare a cosa voglia dire "essere sommabile" e poi praticamente l'insieme E l'hai già scritto come unione di due pezzi: il quadrato interno $[-1,1] \times [-1,1]$ e il quadrato illimitato esterno $|x| \ge 1, |y| \ge 1$, quindi basta integrare $g$ in questi due pezzi e vedere che l'integrale converge.
Attento che nel quadrato illimitato la cosa è vera, dato che $g$ è della forma $1/r^2$, il cui integrale all'infinito converge, mentre invece nel quadrato interno hai l'origine $(0,0)$ che ti dà problemi, per cui l'integrale di $g$ diverge: però lì potresti ragionare in un altro modo (tipo con taylor)
Attento che nel quadrato illimitato la cosa è vera, dato che $g$ è della forma $1/r^2$, il cui integrale all'infinito converge, mentre invece nel quadrato interno hai l'origine $(0,0)$ che ti dà problemi, per cui l'integrale di $g$ diverge: però lì potresti ragionare in un altro modo (tipo con taylor)
Grazie per la risposta, forse ho capito come fare ma se puoi ti chiederei di confermarmi se è giusto.
Sul quadrato limitato non ci sono problemi, infatti $|f_n(x,y)| \leq \frac{\pi}{2} \frac{y^2}{x^2 y^4 + 1}$, che è continua, quindi limitata, e quindi sommabile su $[-1,1] \times [-1,1]$.
Per quanto riguarda la parte illimitata, invece, per calcolare l'integrale di $g$ posso osservare che $g(x,y)=g(-x,y)=g(x,-y)=g(-x,-y)$ e che il dominio di integrazione è dato dai quattro "quadrati" infiniti $$([1,+\infty] \times [1,+\infty]) \cup ([1,+\infty] \times [-\infty,-1]) \cup ([-\infty,-1] \times [1,\infty]) \cup ([-\infty, -1] \times [-\infty, -1])$$
Qundi otterrei che $\int_{E \setminus [-1,1]^2} g(x,y) dxdy = 4\int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty} g(x,y) dxdy$, che ovviamente converge.
A questo punto, per riassumere, ho che le successioni $(f_n)$ e $(|f_n|)$ ammettono una dominante sommabile, quindi $f_n$ è sommabile $\forall n \in \mathbb{N}$ in quanto minore di una funzione sommabile, e inoltre posso utilizzare il teorema di convergenza dominata per scambiare limite e integrale nei punti b) e c) e ottenere quindi per entrambi come risultato $0$.
Sul quadrato limitato non ci sono problemi, infatti $|f_n(x,y)| \leq \frac{\pi}{2} \frac{y^2}{x^2 y^4 + 1}$, che è continua, quindi limitata, e quindi sommabile su $[-1,1] \times [-1,1]$.
Per quanto riguarda la parte illimitata, invece, per calcolare l'integrale di $g$ posso osservare che $g(x,y)=g(-x,y)=g(x,-y)=g(-x,-y)$ e che il dominio di integrazione è dato dai quattro "quadrati" infiniti $$([1,+\infty] \times [1,+\infty]) \cup ([1,+\infty] \times [-\infty,-1]) \cup ([-\infty,-1] \times [1,\infty]) \cup ([-\infty, -1] \times [-\infty, -1])$$
Qundi otterrei che $\int_{E \setminus [-1,1]^2} g(x,y) dxdy = 4\int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty} g(x,y) dxdy$, che ovviamente converge.
A questo punto, per riassumere, ho che le successioni $(f_n)$ e $(|f_n|)$ ammettono una dominante sommabile, quindi $f_n$ è sommabile $\forall n \in \mathbb{N}$ in quanto minore di una funzione sommabile, e inoltre posso utilizzare il teorema di convergenza dominata per scambiare limite e integrale nei punti b) e c) e ottenere quindi per entrambi come risultato $0$.
direi che così può andar bene.
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