Integrale doppio e coordinate polari

[KatieP]

Devo calcolare l'integrale doppio della funzione x/(x^2 + y^2 +1) con limitazioni del dominio : x^2 + y^2 -4y <=0 x<= sqr(3)*y e ho adoperato la sostituzione con coordinate polari facendo variare il raggio tra 0 e 4 e l'angolo tra pi/6 e pi . È giusto?

[Lo_zio_Tom]

"nereide":Devo calcolare l'integrale doppio della funzione x/(x^2 + y^2 +1) con limitazioni del dominio : x^2 + y^2 -4y <=0 x<= sqr3 e ho adoperato la sostituzione con coordinate polari facendo variare il raggio tra 0 e 4 e l'angolo tra pi/6 e pi . È giusto?

va beh....visto che non risponde nessuno rispondo io ....anche se non sono un matematico...il dominio da te proposto non ha alcun senso...poi raggio $=4$..... ....sarei davvero curioso di sapere come l'hai ricavato partendo da $x^2+y^2-4y=0$

Ciò premesso cominciamo a tradurre le limitazioni del dominio da "cartesianese" a "polarese" ottenendo:

${{: ( x^2+y^2-4y<0 ),( x
osservando la prima disequazione vediamo che, affinché abbia senso, occorre che $sentheta>0$ e quindi l'angolo si riduce a $theta in [0;pi]$

Dato che però $costheta$ cambia di segno all'interno dell'intervallo di $theta$ dobbiamo dividere il sistema di disequazioni in due:

${{: ( rho<4sentheta ),( rho
${{: ( rho<4sentheta ),( rho>0 ),( pi/2
Il secondo sistema fornisce subito il range di variazione di $rho$ mentre per il primo occorre risolvere la seguente equazione

$4sentheta=sqrt(3)/(costheta)$ -> $4tantheta=sqrt(3)(tan^2(theta)+1)$ ->${{: ( tantheta=sqrt(3) ),( tantheta=sqrt(3)/3 ) :} rarr{{: ( theta=pi/3 ),( theta=pi/6 ) :}$

in definitiva il tuo integrale diventa


$int_(0)^(4sentheta)int_(0)^(pi/6)....drho d theta+int_(0)^(sqrt(3)/(costheta))int_(pi/6)^(pi/3)....drho d theta+int_(0)^(4sentheta)int_(pi/3)^(pi)....drho d theta$


chiaro?

ps: dopo due anni di iscrizione al forum non pensi sia il caso di imparare a scrivere le formule?

[KatieP]

Ho commesso un errore nella trascrizione del testo, mi scuso sentitamente! Aspetterò qualcun altro di buon cuore che risponda, ti ringrazio comunque!

[Lo_zio_Tom]

Non c'è nulla di cui scusarsi. .il metodo che ti ho illustrato va bene comunque. .con il nuovo testo il dominio che hai trovato tu va bene tranne il raggio che va da $0$ a $4sentheta $ . Il perché lo dovresti capire dai conti che ti ho fatto

ciao

[KatieP]

Grazie