Integrale doppio e cambio variabili
Buon pomeriggio .
devo calcolcare l'integrale doppio di $y^2/(1+x^2+y^2)$
esteso al domino D che ha le seguenti limitazioni:
$(x,y): x^2+y^2<=1 , x>=0 , y>=0$
Allora sicuramente è necessario un cambimento divariabili ...dato che con le coordinate cartesiane verreb un qualcosa di molto diffcile da risovere ma anche con le coordiante polari....
E' necessario un cambio di variabili che sia del tipo delle variabili $u=$ ............... e $v=$ ....................
Ecco è qui che mi blocco... io ho pensato di porre magari $u=x^2+y^2$ e $y^2=v$ ... ma poi non riesco a calcolare gli intervalli entro i quali variano $u$ e $v$ ....
Al di là di questo esercizio vorrei chiedervi una cosa ... so che non esiste un criterio o un metodo guida per il cambiamento dele variabili di questo tipo, infatti ciò mi è stato detto anche in un post che ho precedentemente lasciato...... però io ho parecchie difficoltà con questo tipo di cambio di variabili... qualcuno al di là di questo esercizio potrebbe darmi qualche link con alcuni esercizi svolti che trattano questo tipo di cambio di variabili opure sarebbe cosi gentile da darmi qualche direttiva??? Perchè non so dove sbattere la testa con questo tipo di cambiio di variabili... anche perchè spesso non riesco a determianre quei famosi intervalli di variazione di $u$ e $v$ ....
Sarei grato se qualcuno potesse darmi una risposta...
Grazie anticipatamente
devo calcolcare l'integrale doppio di $y^2/(1+x^2+y^2)$
esteso al domino D che ha le seguenti limitazioni:
$(x,y): x^2+y^2<=1 , x>=0 , y>=0$
Allora sicuramente è necessario un cambimento divariabili ...dato che con le coordinate cartesiane verreb un qualcosa di molto diffcile da risovere ma anche con le coordiante polari....
E' necessario un cambio di variabili che sia del tipo delle variabili $u=$ ............... e $v=$ ....................
Ecco è qui che mi blocco... io ho pensato di porre magari $u=x^2+y^2$ e $y^2=v$ ... ma poi non riesco a calcolare gli intervalli entro i quali variano $u$ e $v$ ....
Al di là di questo esercizio vorrei chiedervi una cosa ... so che non esiste un criterio o un metodo guida per il cambiamento dele variabili di questo tipo, infatti ciò mi è stato detto anche in un post che ho precedentemente lasciato...... però io ho parecchie difficoltà con questo tipo di cambio di variabili... qualcuno al di là di questo esercizio potrebbe darmi qualche link con alcuni esercizi svolti che trattano questo tipo di cambio di variabili opure sarebbe cosi gentile da darmi qualche direttiva??? Perchè non so dove sbattere la testa con questo tipo di cambiio di variabili... anche perchè spesso non riesco a determianre quei famosi intervalli di variazione di $u$ e $v$ ....
Sarei grato se qualcuno potesse darmi una risposta...
Grazie anticipatamente
Risposte
non è necessario nessun cambio di variabili, dal dominio è evidente che basta usare le coordinate polari ponendo:
$ D = {(p,f) | 0
$ x = pcosf vv y = psenf $
$ D = {(p,f) | 0
$ x = pcosf vv y = psenf $
nonono ho sbagliato a scrivere la traccia Hawk 88
Scusamiiiii scusami ora correggo
Scusamiiiii scusami ora correggo
beh hai corretto? io vedo sempre la stessa traccia
si ho messo al posto di $y$ al numeratore ho messo $y^2$ ...
non cambia niente! tu devi vedere il dominio e quel dominio si risolve con le coordinate polari..... se vuoi te lo risolvo e te lo posto.
Grazie Hawk 88 ...anche io avevo epnsato di risolverlo tramite coordiante polari... in quel caso si sarebbe avuto
$0<=(\rho)<=1$ e $0<=(\theta)<=(\pi)/2$ .... vero???
solo che poi verrebbe (quando si va a procedere con i calcoli) che bisonga calcolare $\int_{0}^{(\pi)/2} sen^2(\theta) d(\theta)$
che risulta un pò ostico ....
Comunque se puoi risolverlo mi faresti un piacere....
Comunque il risultato è:
$(\pi)(1-log2)/8$
A proposito tu per caso sai qualche "regola"\"trucchetto nei casi in cui si volesse effettuare un cambio di variabili del tipo $u$ e $v$ ?? (Questa è una domanda in generale a prescindere dall esercizio in questione)
GRAZIE
Grazie mille...
$0<=(\rho)<=1$ e $0<=(\theta)<=(\pi)/2$ .... vero???
solo che poi verrebbe (quando si va a procedere con i calcoli) che bisonga calcolare $\int_{0}^{(\pi)/2} sen^2(\theta) d(\theta)$
che risulta un pò ostico ....
Comunque se puoi risolverlo mi faresti un piacere....
Comunque il risultato è:
$(\pi)(1-log2)/8$
A proposito tu per caso sai qualche "regola"\"trucchetto nei casi in cui si volesse effettuare un cambio di variabili del tipo $u$ e $v$ ?? (Questa è una domanda in generale a prescindere dall esercizio in questione)
GRAZIE
Grazie mille...
$ I = int int_(D)^() y^2 / (1 + x^2 + y^2 ) dxdy $
$ D = {(x,y)inRR^2 | x^2 + y^2 <=1, x>=0, y>=0 } $
Col le coordinate polari si ottiene:
$ D' = {(p,f) | 0
Poniamo:
$ x = pcosf vv y = psenf $
Quindi:
$ I = int int_(D')^() (p^3sen^2f) / (1 + p^2)dpdf = $
$ = int_(0)^(1) p^3/(1+p^2) ( int_(0)^(pi/2) sen^2(f) df ) dp = $
$ = 1/2 int_(0)^(1) p^3/(1+p^2) ( int_(0)^(pi/2) (1 - cos(2f)) df ) dp = $
$ = 1/2 int_(0)^(1) p^3/(1+p^2) [f - 1/2sen(2f)] dp = $
$ = pi/4 int_(0)^(1) p^3/(1+p^2)dp = $
$ = pi/4 int_(0)^(1) pdp - pi/4 int_(0)^(1) p/(p^2 + 1)dp = $
$ = pi/8 [p^2] - pi/8[log(p^2 + 1)] = $
$ = pi/8(1 - log2) $
Ti è chiaro?
( P.s.: ho usato la formula $ sen^2(f) = (1 - cos(2f)) / 2 $ )
$ D = {(x,y)inRR^2 | x^2 + y^2 <=1, x>=0, y>=0 } $
Col le coordinate polari si ottiene:
$ D' = {(p,f) | 0
Poniamo:
$ x = pcosf vv y = psenf $
Quindi:
$ I = int int_(D')^() (p^3sen^2f) / (1 + p^2)dpdf = $
$ = int_(0)^(1) p^3/(1+p^2) ( int_(0)^(pi/2) sen^2(f) df ) dp = $
$ = 1/2 int_(0)^(1) p^3/(1+p^2) ( int_(0)^(pi/2) (1 - cos(2f)) df ) dp = $
$ = 1/2 int_(0)^(1) p^3/(1+p^2) [f - 1/2sen(2f)] dp = $
$ = pi/4 int_(0)^(1) p^3/(1+p^2)dp = $
$ = pi/4 int_(0)^(1) pdp - pi/4 int_(0)^(1) p/(p^2 + 1)dp = $
$ = pi/8 [p^2] - pi/8[log(p^2 + 1)] = $
$ = pi/8(1 - log2) $
Ti è chiaro?
( P.s.: ho usato la formula $ sen^2(f) = (1 - cos(2f)) / 2 $ )
ecco Hawk 888 mi trovo perfettamente con i passaggi che tu fai...anche io arrivo a questo punto esatto dopo di che io dovrei integrare $sen^2(\theta)$.... che è abbastanza complicato... per questo ero piu concorde verso il cambio di variabile...
ho svolto tutto l'integrale, guarda i passaggi del post precedente! 
GRAZIE MILLE HAWK88 .... ricontrollando su qualche vecchio quaderno ora mi sono accorto del esistenza di quella formula grazie grazie ancora... Senti ma allora per la mia seconda domanda hai qualche risposta da darmi? Quella circa le regole\trucchetti che si possono applcare nel cambio di variabili del tipo $u$ e $v$ ...
GRAZIE ANCORA
.... ricontrollando su qualche vecchio quaderno ora mi sono accorto del esistenza di quella formula grazie grazie ancora... Senti ma allora per la mia seconda domanda hai qualche risposta da darmi? Quella circa le regole\trucchetti che si possono applcare nel cambio di variabili del tipo $u$ e $v$ ... GRAZIE ANCORA
di solito il cambio di variabile si applica quando il dominio è fatto da rette e da iperbole di equazione $ xy=k $, $ k in RR $
in che senso Hawk88?? potresti farmi un piccolo esmpio?
grazie per l'interessamento
grazie per l'interessamento
nel senso che quella trasformazione serve ad ottenere un rettangolo, a partire da un dominio che "ricorda" tale figura. Cioè quando un dominio è appunto delimitato da rete o iperboli.
esatto!
ho capito... grazie Stefano e Hawk88... ma quindi c'è un modo particolare di come dovrei scegliere le variabili oppure no?
Cioè non c'è nessna regola che devo utliizzare quindi??
grazie mille per le risposte e per l'interessaemnto...
Cioè non c'è nessna regola che devo utliizzare quindi??
grazie mille per le risposte e per l'interessaemnto...
No non c'è una regola fissa, solitamente se hai un dominio formato da rette di equazione $y = kx$ e da iberbole di equazione $xy=p$, con $k,p in RR$, si pone $ v = xy $ e $ u = y/x $ e poi calcoli la matrice jacobiana! Ovviamente non è sempre la stessa la sostituzione!
okok grazie mille Hawk88 ...
senti solo ua cosa c'è un mio post che si chama "Integrale triplo" ...è sempre in questa sezione... potersti darmi una mano se puoi?
grazie per la tua genitlezza
senti solo ua cosa c'è un mio post che si chama "Integrale triplo" ...è sempre in questa sezione... potersti darmi una mano se puoi?
grazie per la tua genitlezza
mi sono fermato allo studio delle funzioni a 2 variabili, non ho mai fatto integrali tripli o comunque funzioni in 3 variabili.. 
probabilmente quando farò la laurea specialistica farò anche quelli!
probabilmente quando farò la laurea specialistica farò anche quelli!
okok grazie lo stesso allora a presto nel caso in cui avessi bisogno di altri aiuti su integrali doppi
non solo eh sugli integrali doppi, me la cavo abbastanza su tutta l'analisi matematica 1 e 2
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