Integrale doppio dominio normale
devo risolvere questo integrale doppio: $int int_D sqrt(x^2+y^2)dxdy$ essendo $D={(x,y) in RR^2 : (x-1)^2+y^2<=1}$
il dominio è rappresentato dalla circonferenza di raggio $1$ e centro $x_0=1$ $y_0=0$. siccome sono ancora agl'inizi degli integrali doppi e tripli ho difficoltà a riportare il dominio ad una forma normale
il dominio è rappresentato dalla circonferenza di raggio $1$ e centro $x_0=1$ $y_0=0$. siccome sono ancora agl'inizi degli integrali doppi e tripli ho difficoltà a riportare il dominio ad una forma normale
Risposte
sbaglio o il dominio normale dell'integrale é:
$D={(x,y)inRR^2 : 0<=x<=2, -sqrt(2x-x^2)<=y<=sqrt(2x-x^2)}$
$D={(x,y)inRR^2 : 0<=x<=2, -sqrt(2x-x^2)<=y<=sqrt(2x-x^2)}$
Sì è quello... Ma non ti conviene fare così, sono conti lunghi e pallosi. Ti conviene invece usare le coordinate polari centrate in (1,0),
cioè porre [tex]$\begin{cases}x=1+ \varrho\cos \vartheta \\ y=\varrho\sin \vartheta \end{cases},\quad \text{con }\left(\varrho,\vartheta\right)\in\left(0,1\right)\times\left(0,2\pi\right)[/tex] e sostituendo tenendo conto del fatto che [tex]\text{d}x\,\text{d}y=\varrho\,\text{d}\varrho\,\text{d}\vartheta[/tex] (tutto ciò ovviamente se hai studiato il cambiamento di variabile negli integrali multipli).
cioè porre [tex]$\begin{cases}x=1+ \varrho\cos \vartheta \\ y=\varrho\sin \vartheta \end{cases},\quad \text{con }\left(\varrho,\vartheta\right)\in\left(0,1\right)\times\left(0,2\pi\right)[/tex] e sostituendo tenendo conto del fatto che [tex]\text{d}x\,\text{d}y=\varrho\,\text{d}\varrho\,\text{d}\vartheta[/tex] (tutto ciò ovviamente se hai studiato il cambiamento di variabile negli integrali multipli).
"fireball":
Sì è quello... Ma non ti conviene fare così, sono conti lunghi e pallosi. Ti conviene invece usare le coordinate polari centrate in (1,0),
cioè porre [tex]$\begin{cases}x=1+ \varrho\cos \vartheta \\ y=\varrho\sin \vartheta \end{cases},\quad \text{con }\left(\varrho,\vartheta\right)\in\left(0,1\right)\times\left(0,2\pi\right)[/tex] e sostituendo tenendo conto del fatto che [tex]\text{d}x\,\text{d}y=\varrho\,\text{d}\varrho\,\text{d}\vartheta[/tex] (tutto ciò ovviamente se hai studiato il cambiamento di variabile negli integrali multipli).
infatti mi era venuto il dubbio.i calcoli che sto ottenendo sono molto lunghi e pallosi.il metodo del cambiamento di variabili lo farò soltanto oggi a lezioni.mentre mi stavo cimentando in qualche integrale ma vedo che senza questo metodo le cose si complicano non poco
Non è una regola fissa andare a parare in coordinate polari,sicuramente questo è il caso.
Si riconosce dall'assoluta simmetria del tuo dominio,che è un cerchio.
Si riconosce dall'assoluta simmetria del tuo dominio,che è un cerchio.
invece nel seguente esercizio non capisco interamente come ha ottenuto il dominio normale.
$int_A (x+y)dxdy$ dove $A={(x,y) : 2x^3<=y<=2sqrtx}$
nello svolgimento compare $A={(x,y) : 0<=y<=2, (y/2)^2<=x<=root(3)(y/2)}$
comprendo dove ha ottenuto i valori $(y/2)^2$ e $root(3)(y/2)$ ma proprio non capisco come ha ottenuto quel $0<=y<=2$
$int_A (x+y)dxdy$ dove $A={(x,y) : 2x^3<=y<=2sqrtx}$
nello svolgimento compare $A={(x,y) : 0<=y<=2, (y/2)^2<=x<=root(3)(y/2)}$
comprendo dove ha ottenuto i valori $(y/2)^2$ e $root(3)(y/2)$ ma proprio non capisco come ha ottenuto quel $0<=y<=2$
Se ti fai un disegno forse ti risulterà più chiaro .
Comunque il campo delle y viene ristretto in quel modo poichè la regione di piano limitata da quelle due funzioni ha la $y$ precisamente limitata da quei due valori.
Per trovarli ti basta risolvere il sistema fra le due funzioni date,e ti risulterà $x=0$ $x=1$ quindo $y=0$ $y=2$ ,trovato questo valore ti butti sulla ricerca dell'intervallo della $x$ stando attento al fatto che anche il $2$ è sotto radice,da come hai scritto non risulta.
Comunque il campo delle y viene ristretto in quel modo poichè la regione di piano limitata da quelle due funzioni ha la $y$ precisamente limitata da quei due valori.
Per trovarli ti basta risolvere il sistema fra le due funzioni date,e ti risulterà $x=0$ $x=1$ quindo $y=0$ $y=2$ ,trovato questo valore ti butti sulla ricerca dell'intervallo della $x$ stando attento al fatto che anche il $2$ è sotto radice,da come hai scritto non risulta.
ho il seguente integrale $int int_T (x+y)/(x^2+y^2)dxdy$
essendo $T={(x,y) in RR^2 : x^2-2x-1<=y<=-x^2+4x-2}$
adesso che ho fatto le coordinate polari le posso sfruttare ed scrivere il seguente integrale in coordinate polari:
$int int_(g^(-1)(T)) cos(theta)+sin(theta) d\theta d\rho$
la mia difficoltà adesso sta nel trasformare il domino $T$ e portarlo in coordinate polari.devo individuare $g^(-1)(T)$
scrivendo $T$ in dominio normale ottengo: $T={(x,y) in RR^2 : 3/2-sqrt(7)/2<=x<=3/2+sqrt7/2, x^2-2x-1<=y<=-x^2+4x-2}$
[EDIT]
faccio un passo in più dicendo che prendendo $3/2-sqrt(7)/2<=x<=3/2+sqrt7/2$ e sostituendo in coordinate polari ottengo $cos\theta>=3/2-sqrt7/2$ dato che il $cos(theta)$ non può essere più grande di $3/2+sqrt7/2$
E poi ottengo $sin(theta)>=2-sqrt2$
ma purtroppo non sono completamente sicuro della correttezza dei calcoli
essendo $T={(x,y) in RR^2 : x^2-2x-1<=y<=-x^2+4x-2}$
adesso che ho fatto le coordinate polari le posso sfruttare ed scrivere il seguente integrale in coordinate polari:
$int int_(g^(-1)(T)) cos(theta)+sin(theta) d\theta d\rho$
la mia difficoltà adesso sta nel trasformare il domino $T$ e portarlo in coordinate polari.devo individuare $g^(-1)(T)$
scrivendo $T$ in dominio normale ottengo: $T={(x,y) in RR^2 : 3/2-sqrt(7)/2<=x<=3/2+sqrt7/2, x^2-2x-1<=y<=-x^2+4x-2}$
[EDIT]
faccio un passo in più dicendo che prendendo $3/2-sqrt(7)/2<=x<=3/2+sqrt7/2$ e sostituendo in coordinate polari ottengo $cos\theta>=3/2-sqrt7/2$ dato che il $cos(theta)$ non può essere più grande di $3/2+sqrt7/2$
E poi ottengo $sin(theta)>=2-sqrt2$
ma purtroppo non sono completamente sicuro della correttezza dei calcoli
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