Integrale doppio di una funzione con dominio in una porzione di cerchio

[rino.f.95]

Salve, avrei un integrale doppio con dominio in una porzione di cerchio: il mio professore ci ha dato già il risultato, che dev'essere

[math]\frac{5}{2} \pi [/math]

, mentre a me viene

[math]\frac{5}{8} \pi [/math]

... potreste controllare i passaggi che ho fatto per favore?

Questo è il dominio:

[math] \Omega : \left \{ (x,y) \in R^2 : 4 \leq z \leq 6, z = 3 + 2x^2 + 2y^2 \right \} [/math]

Questo è l'integrale:

[math] \int _{ \Omega } \frac{5x^2}{(x^2 + y^2) \sqrt{1 + 16x^2 + 16y^2}} \mathrm{d} \Omega [/math]

1. Semplifico il dominio

[math] \Omega : \left \{ (x,y) \in R^2 : \frac{1}{2}\leq x^2 + y^2\leq \frac{3}{2} \right \} [/math]

2. trasformo il dominio in coordinate polari

[math] \Omega : \left \{ (x,y) \in R^2 : \frac{1}{2}\leq x^2 + y^2\leq \frac{3}{2},

\left\{\begin{matrix}
x = \rho cos \vartheta \\
y = \rho sin \vartheta
\end{matrix}\right.

, \rho \geq 0, -\pi \leq \vartheta \leq \pi \right \} [/math]

per cui, il dominio è adesso:

[math] \Omega : \left \{ (\rho,\vartheta ) \in R^2 :

\sqrt{\frac{1}{2}}\leq \rho \leq \sqrt{\frac{3}{2}}

, -\pi \leq \vartheta \leq \pi \right \} [/math]

3. trasformo la funzione integranda in coordinate polari

[math] \frac{5x^2}{(x^2 + y^2) \sqrt{1 + 16x^2 + 16y^2}} = \frac{5\rho ^2 cos^2\vartheta }{\rho ^2\sqrt{1 + 16\rho ^2}} = \frac{5cos^2\vartheta }{\sqrt{1 + 16\rho ^2}} [/math]

4. trasformo l'integrale

[math] \int _{ \Omega } \frac{5x^2}{(x^2 + y^2) \sqrt{1 + 16x^2 + 16y^2}} \mathrm{d} \Omega = \int _{\Omega} \frac{5cos^2\vartheta }{\sqrt{1 + 16\rho ^2}} \mathrm{d} \Omega [/math]

sapendo che

[math] \mathrm{d} \Omega = \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \vartheta [/math]

in

[math] \int_{\sqrt{\frac{1}{2}}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{5\rho }{\sqrt{1 + 16\rho ^2}} \mathrm{d} \rho

\int_{-\pi }^{\pi }cos^2\vartheta \mathrm{d} \Omega [/math]

5. lo risolvo:

a) so che

[math] \int \frac{5x }{\sqrt{1 + 16x ^2}} \mathrm{d} x = \frac{5}{32} 2 \int \frac{1}{2} \frac{32x}{\sqrt{1 + 16x ^2}} \mathrm{d} x = \frac{5}{16} \sqrt{1 + 16x^2} + C [/math]

b) e che

[math] \int cos^2x \mathrm{d} x = \frac{1}{2} (x + sinxcosx) + C [/math]

in definitiva:

[math] \int_{\sqrt{\frac{1}{2}}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{5\rho }{\sqrt{1 + 16\rho ^2}} \mathrm{d} \rho

\int_{-\pi }^{\pi }cos^2\vartheta \mathrm{d} \Omega

=

\left [ \frac{5}{16} \sqrt{1 + 16 \rho ^2} \right ] _{\sqrt{\frac{1}{2}}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}

\left [ \frac{1}{2} (\vartheta + sin\vartheta cos\vartheta ) \right ] _{- \pi }^{ \pi } [/math]

e cioè

[math] \frac{5}{16}\pi \left [ \sqrt{1 + 16\frac{3}{2}} - \sqrt{1 + 16\frac{1}{2}} \right ] = \frac{5}{16}\pi (5 - 3) = \frac{5}{8}\pi [/math]

, mentre si presuppone che il risultato debba venire

[math] \frac{5}{2} \pi [/math]

.

E' da giorni che proviamo con i nostri colleghi e siamo convinti che il prof ha sbagliato, potreste dare una controllata voi? spero davvero che abbia scritto tutto bene e chiaro, se non fosse così e aveste intenzione di aiutarmi non esitate a chiedere.

ps: ho scritto tutto il latex per chiarificare al massimo, ma accetto volentieri anche che postiate delle foto

[mc2]

A me sembrano giusti i tuoi calcoli.

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Se ti puo` rassicurare, ho scritto al volo un programma di integrazione numerica per questo integrale: il risultato e` indubbiamente

[math]5\pi /8[/math]