Integrale doppio da risolversi con coordinate polari

[Johnny_Mnemonic]

$\intint_{\Omega}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dxdy$ , $\Omega={ (x,y): x^{2}+y^{2}\geq4, 0\leq x\leq2, 0\leq y\leq2\} $

Come prima cosa ho rappresentato graficamente l'insieme $\Omega$ e questo non è stato difficile.

Poi ho eseguito il cambiamento delle variabili di integrazione ottenendo:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\int_{2}^{\frac{2}{\cos\varphi}}\frac{1}{\sqrt{\rho^{2}\cos^{2}\varphi+\rho^{2}\sin^{2}varphi}}\rhod\rho) d\varphi$

Poi dopo alcuni passaggi immediati sono arrivato ad ottenere la forma:

$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos\varphi}d\varphi - \pi$


poi ho provato ad andare avanti ma non ho molte idee per farlo ..... aiuto please

[Johnny_Mnemonic]

quindi da $\frac{\pi}{4}$ a $\frac{\pi}{2}$ è limitata da:

$y\leq2 \Rightarrow\rho\sin\varphi\leq2 \Rightarrow\rho\leq\frac{2}{\sin\varphi}$

giusto?

[yellow2]

Esatto.