Integrale doppio: cosa integro per primo?
Ciao a tutti, se ho un integrale doppio che rappresenta un disegno io so che :
- se il dominio è x semplice integro prima rispetto ad x e poi quello che mi esce lo integro rispetto ad y
- se D è y semplice integro prima rispetto ad y e poi rispetto ad x.
E' corretto?
E se è semplice sia per x e y che devo fare?
- se il dominio è x semplice integro prima rispetto ad x e poi quello che mi esce lo integro rispetto ad y
- se D è y semplice integro prima rispetto ad y e poi rispetto ad x.
E' corretto?
E se è semplice sia per x e y che devo fare?
Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Ovviamente il risultato è il medesimo ma la scelta di quale variabile integrare per prima dipende anche dalla funzione integranda:
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Esempio 1.
*********************************
$f(x,y)=1/y$
$D={(x,y) in R^2: 0
se integri x-semplice hai
$int_(0)^(1)dxint_(x)^(1)1/ydy=int_(0)^(1)-logxdx$
che è di semplice risoluzione ma devi comunque fare un integrale per parti...
Se invece integri y-semplice ottieni
$int_(0)^(1)1/y dyint_(0)^(y)dx=int_(0)^(1)dy=1$
che risolvi senza alcun conto.
*******************************
Esempio 2.
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$f(x,y)=e^(-y)/y$
$D={(x,y) in R^2: 0
se lo integri y-semplice ottieni facilmente
$int_(0)^(+oo)e^(-y)/ydyint_(0)^(y)dx=int_(0)^(+oo)e^(-y)dy=1$
prova a vedere cosa succede integrando prima la x....
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Esempio 1.
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$f(x,y)=1/y$
$D={(x,y) in R^2: 0
se integri x-semplice hai
$int_(0)^(1)dxint_(x)^(1)1/ydy=int_(0)^(1)-logxdx$
che è di semplice risoluzione ma devi comunque fare un integrale per parti...
Se invece integri y-semplice ottieni
$int_(0)^(1)1/y dyint_(0)^(y)dx=int_(0)^(1)dy=1$
che risolvi senza alcun conto.
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Esempio 2.
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$f(x,y)=e^(-y)/y$
$D={(x,y) in R^2: 0
se lo integri y-semplice ottieni facilmente
$int_(0)^(+oo)e^(-y)/ydyint_(0)^(y)dx=int_(0)^(+oo)e^(-y)dy=1$
prova a vedere cosa succede integrando prima la x....
Ciao grazie della risposta.
Quindi a livello di risultato è totalmente indifferente? E' solo una questione di semplicità dei calcoli?
Quindi a livello di risultato è totalmente indifferente? E' solo una questione di semplicità dei calcoli?
@abaco90: Studiare la teoria non guasterebbe. Questi sono teoremi importanti, bisogna conoscerli, non puoi andare così per sentito dire come fai tu.
Il mio libro, se così si può chiamare, fa pena. Di conseguenza mi ritrovo costretto a chiedere su un forum.
Di certo non mi butto a fare domande se prima non ho consultato il "libro".
Di certo non mi butto a fare domande se prima non ho consultato il "libro".
Non so quale sia il tuo libro e di solito sono esitante a dire che qualcosa "fa pena" (tutte le volte che ho fatto un commento così, dopo mi sono trovato a rimangiarmelo). Ma sugli integrali multipli devo ammettere che hai ragione, è un argomento spiegato piuttosto male. La ragione per questo è che il "vero" teorema sugli integrali multipli è il seguente:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem
Questo teorema elimina la necessità di tutto l'armamentario dei domini x-semplici, y-semplici e roba del genere, però richiede la conoscenza delle basi della teoria della misura. In ogni caso, almeno leggere l'enunciato è secondo me molto istruttivo. Il teorema dice che, se l'integrale doppio (o triplo, quadruplo... non è questione di dimensione) è assolutamente convergente, ossia se
\[
\iint_{X\times Y} |f(x, y)|\, dxdy <+\infty\]
allora uno può integrare nell'ordine che gli pare ottenendo sempre lo stesso risultato. Questa è la situazione più naturale, quindi, per rispondere alla tua domanda:
Si, salvo il caso in cui l'integrale doppio non è assolutamente convergente (che è considerato un caso "patologico" e va a finire in teorie più complicate come questa).
https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem
Questo teorema elimina la necessità di tutto l'armamentario dei domini x-semplici, y-semplici e roba del genere, però richiede la conoscenza delle basi della teoria della misura. In ogni caso, almeno leggere l'enunciato è secondo me molto istruttivo. Il teorema dice che, se l'integrale doppio (o triplo, quadruplo... non è questione di dimensione) è assolutamente convergente, ossia se
\[
\iint_{X\times Y} |f(x, y)|\, dxdy <+\infty\]
allora uno può integrare nell'ordine che gli pare ottenendo sempre lo stesso risultato. Questa è la situazione più naturale, quindi, per rispondere alla tua domanda:
Quindi a livello di risultato è totalmente indifferente? E' solo una questione di semplicità dei calcoli?
Si, salvo il caso in cui l'integrale doppio non è assolutamente convergente (che è considerato un caso "patologico" e va a finire in teorie più complicate come questa).
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