Integrale doppio cordinate polari.
Ho questo integrale $int int 1/x^2dxdy $ con dominio $ 1 <= x^2 + y^2 <= 4, -x <= y <= x $
Ho disegnato le due circonferenze di raggio 1 e 4, e preso il dominio interno. Questo dominio è tra le rette -x e x giusto? E quindi trasformando in cordinate polari posso mettere: $ 1 <= p <= 4 , O = [π/4, - π/4] $ con O come omega.
Il mio dubbio è, il dominio di Omega è giusto?? E se è così essendo simmetrico poi nell'integrale si annulla?
Grazie in anticipo.
Ho disegnato le due circonferenze di raggio 1 e 4, e preso il dominio interno. Questo dominio è tra le rette -x e x giusto? E quindi trasformando in cordinate polari posso mettere: $ 1 <= p <= 4 , O = [π/4, - π/4] $ con O come omega.
Il mio dubbio è, il dominio di Omega è giusto?? E se è così essendo simmetrico poi nell'integrale si annulla?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao,
il passaggio in coordinate polari va bene. La condizione $1 <= x^2 + y^2 <= 4$ si traduce nella corona circolare tra le due circonferenze di raggio $1$ e $2$... percio non è $1 \leq \rho\ \leq 4$, ma $1 \leq \rho\ \leq 2$.
La condizione sull'angolo, che io chiamo $theta$, che hai scritto te però è sbagliata: il dominio è rappresentato dall'insieme formato dalla corona circolare compresa tra le rette $y=-x,y=x$.
Ora hai una funzione pari rispetto a $y$ su un dominio simmetrico rispetto all'asse $x$. Quindi ti basta prendere due volte l'integrale calcolato sulla parte di corona circolare superiore. Ottimo. così puoi dire subito che $theta \in [pi/4,3pi/4]$ e
$I=2*int_{1}^{2} int_{pi/4}^{3pi/4} 1/(\rho cos(theta))^2 d theta d\rho$
il passaggio in coordinate polari va bene. La condizione $1 <= x^2 + y^2 <= 4$ si traduce nella corona circolare tra le due circonferenze di raggio $1$ e $2$... percio non è $1 \leq \rho\ \leq 4$, ma $1 \leq \rho\ \leq 2$.
La condizione sull'angolo, che io chiamo $theta$, che hai scritto te però è sbagliata: il dominio è rappresentato dall'insieme formato dalla corona circolare compresa tra le rette $y=-x,y=x$.
Ora hai una funzione pari rispetto a $y$ su un dominio simmetrico rispetto all'asse $x$. Quindi ti basta prendere due volte l'integrale calcolato sulla parte di corona circolare superiore. Ottimo. così puoi dire subito che $theta \in [pi/4,3pi/4]$ e
$I=2*int_{1}^{2} int_{pi/4}^{3pi/4} 1/(\rho cos(theta))^2 d theta d\rho$
Scusami ma non ho capito, allora ci sto fino alla condizione, non ho pensato che é $r^2$ giustamente. Ma le rette sono $y = -x$ e ok. L'altra é $y$ E basta?
Inoltre nell'integrale, non capisco il $2$ fuori. E non mancherebbe un $p$ della jacobiana?
Inoltre nell'integrale, non capisco il $2$ fuori. E non mancherebbe un $p$ della jacobiana?
Scusa ma che vuol dire che una retta è $y$?? L'altra è $y=x$. Sono solamente le due bisettrici.
Il $2$ fuori dal'integrale è per ragioni di simmetria tra dominio e integranda. Hai una funzione pari rispetto a y su un dominio simmetrico rispetto all'asse $x$.
Il $2$ fuori dal'integrale è per ragioni di simmetria tra dominio e integranda. Hai una funzione pari rispetto a y su un dominio simmetrico rispetto all'asse $x$.
Scusa, non mi faceva vedere la $y=x$ ecco perché non capivo. Sto con il cellulare è probabilmente non mi carica bene il tutto. Scusami. Ok grazie mille.
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