Integrale doppio - Coordinate polari, ellisse
Salve, mi viene chiesto di calcolare l'area della regione descritta in questo modo:
$ 0<=y<=1+2x $,
$ 4x^2+y^2<=1 $
Facendo il disegno si tratta di un ellisse intersecato con una retta, si può vedere anche come un quarto di ellisse e un triangolo nel secondo quadrante, presumo che questa strada sia quella più semplice anche se non l'ho ancora provata. Ho utilizzato le coordinate polari in questo modo:
$ x = (rhocostheta)/2 $
$y=rhosintheta $
Il modulo del determinante della jacobiana è $rho/2$, il problema sono gli estremi di integrazione. La condizione imposta dalla retta si traduce in:
$ 0<=rho<=1/(sintheta-2costheta) $
$ int int_(0)^(1/(sintheta-2costheta))rho/2 drhodvartheta $
L'angolo invece varia tra 0 e 180? Non sono sicuro di come determinarlo e anche se potessi l'integrale risultante non è "semplice". Ho preso una strada completamente sbagliata? Le coord. polari non sono da considerare in questo caso? Anche se così fosse come si determinano gli estremi di $theta$?
$ 0<=y<=1+2x $,
$ 4x^2+y^2<=1 $
Facendo il disegno si tratta di un ellisse intersecato con una retta, si può vedere anche come un quarto di ellisse e un triangolo nel secondo quadrante, presumo che questa strada sia quella più semplice anche se non l'ho ancora provata. Ho utilizzato le coordinate polari in questo modo:
$ x = (rhocostheta)/2 $
$y=rhosintheta $
Il modulo del determinante della jacobiana è $rho/2$, il problema sono gli estremi di integrazione. La condizione imposta dalla retta si traduce in:
$ 0<=rho<=1/(sintheta-2costheta) $
$ int int_(0)^(1/(sintheta-2costheta))rho/2 drhodvartheta $
L'angolo invece varia tra 0 e 180? Non sono sicuro di come determinarlo e anche se potessi l'integrale risultante non è "semplice". Ho preso una strada completamente sbagliata? Le coord. polari non sono da considerare in questo caso? Anche se così fosse come si determinano gli estremi di $theta$?
Risposte
Ciao! Ti conviene utilizzare l'additività dell'integrale rispetto all'insieme di integrazione, spezzando l'insieme $\A:={(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 0\leqy\leq1+2x, \ 4x^2+y^2\leq1}$ in $A=A_1 \cup A_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 0\leqy\leq1+2x, \ xleq0}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 4x^2+y^2\leq1, x\geq0}$, perciò hai
$$\int_A \text{d}x \text{d}y=\int_{A_1 \cup A_2} \text{d}x \text{d}y=\int_{A_1} \text{d}x \text{d}y + \int_{A_2} \text{d}x \text{d}y$$
Il primo lo calcoli tranquillamente scrivendo $A_1$ come insieme normale rispetto all'asse $x$, mentre per il secondo puoi passare in coordinate ellittiche come hai già fatto nel tuo tentativo di risoluzione.
Penso che l'altra strada sia un po' masochista, tuttavia se vuoi possiamo provare a ragionarci comunque su.
$$\int_A \text{d}x \text{d}y=\int_{A_1 \cup A_2} \text{d}x \text{d}y=\int_{A_1} \text{d}x \text{d}y + \int_{A_2} \text{d}x \text{d}y$$
Il primo lo calcoli tranquillamente scrivendo $A_1$ come insieme normale rispetto all'asse $x$, mentre per il secondo puoi passare in coordinate ellittiche come hai già fatto nel tuo tentativo di risoluzione.
Penso che l'altra strada sia un po' masochista, tuttavia se vuoi possiamo provare a ragionarci comunque su.
Grazie mille per il chiarimento. Sicuramente spezzare l'integrale è conveniente. In questo caso però, se volessi proseguire con le coordinate polari come farei a determinare gli estremi di integrazione? Poi se l'integrale risultante è troppo complicato è un'altra storia.
Ciao ridley,
Metodo semplice, senza integrali, utile se non altro per controllare l'esattezza dei risultati...
Facendo un disegno si vede subito che l'area della regione richiesta è data dalla somma dell'area di un quarto dell'ellisse di semiassi $a = 1/2 $ e $b = 1 $ e dell'area del triangolo di base $a = 1/2 $ e altezza $b = 1 $, quindi l'area della regione richiesta è la seguente:
$A = 1/4 \pi a b + 1/2 a b = 1/4 \pi \cdot 1/2 \cdot 1 + 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1 = 1/4 (\pi/2 + 1) $
Peraltro, visto il disegno, non mi paiono così convenienti le coordinate ellittiche, farei semplicemente così:
$A = \int_{-1/2}^0 (2x + 1) \text{d}x + \int_0^{1/2}\sqrt{1 - 4x^2} \text{d}x = [x^2 + x]_{-1/2}^0 + 2\cdot \int_0^{1/2}\sqrt{(1/2)^2 - x^2} \text{d}x = $
$ = 1/4 + 2 \cdot \pi/16 = 1/4 + \pi/8 = 1/4(\pi/2 + 1) $
Metodo semplice, senza integrali, utile se non altro per controllare l'esattezza dei risultati...
Facendo un disegno si vede subito che l'area della regione richiesta è data dalla somma dell'area di un quarto dell'ellisse di semiassi $a = 1/2 $ e $b = 1 $ e dell'area del triangolo di base $a = 1/2 $ e altezza $b = 1 $, quindi l'area della regione richiesta è la seguente:
$A = 1/4 \pi a b + 1/2 a b = 1/4 \pi \cdot 1/2 \cdot 1 + 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1 = 1/4 (\pi/2 + 1) $
Peraltro, visto il disegno, non mi paiono così convenienti le coordinate ellittiche, farei semplicemente così:
$A = \int_{-1/2}^0 (2x + 1) \text{d}x + \int_0^{1/2}\sqrt{1 - 4x^2} \text{d}x = [x^2 + x]_{-1/2}^0 + 2\cdot \int_0^{1/2}\sqrt{(1/2)^2 - x^2} \text{d}x = $
$ = 1/4 + 2 \cdot \pi/16 = 1/4 + \pi/8 = 1/4(\pi/2 + 1) $
Usando solo le coordinate ellittiche dovresti comunque spezzare in due integrali (somma o differenza).
Innanzitutto io farei le sostituzioni così $ { ( x=rcos(theta) ),( y=2rsin(theta) ):} $ e lo jacobiano è $2r$
Dalla prima disequazione ottengo che $0<=r<=1/2$ e dalla seconda $0<=r<=1/(2(sin(theta)-cos(theta))$
Ora si può fare sia $int_(0)^(pi/2)int_0^(1/2)2r drd theta+int_(pi/2)^pi int_0^[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))] 2r drd theta$
che $int_0^(pi) int_0^(1/2)2r drd theta-int_(pi/2)^pi int_[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))]^(1/2) 2r drd theta$
Edit:corretto gli estremi
Innanzitutto io farei le sostituzioni così $ { ( x=rcos(theta) ),( y=2rsin(theta) ):} $ e lo jacobiano è $2r$
Dalla prima disequazione ottengo che $0<=r<=1/2$ e dalla seconda $0<=r<=1/(2(sin(theta)-cos(theta))$
Ora si può fare sia $int_(0)^(pi/2)int_0^(1/2)2r drd theta+int_(pi/2)^pi int_0^[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))] 2r drd theta$
che $int_0^(pi) int_0^(1/2)2r drd theta-int_(pi/2)^pi int_[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))]^(1/2) 2r drd theta$
Edit:corretto gli estremi
Grazie mille per i vostri interventi
"pilloeffe":
quindi l'area della regione richiesta è la seguente:
$A = 1/4 \pi a b + 1/2 a b = 1/4 \pi \cdot 1/2 \cdot 1 + 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1 = 1/4 (\pi/2 + 1) $
Peraltro, visto il disegno, non mi paiono così convenienti le coordinate ellittiche, farei semplicemente così:
Procedendo geometricamente l'area dell'ellisse è $pi/2$. L'area di 3/4 di ellisse è quindi $(3pi)/8$
Sommando l'area del triangolo, il risultato è $(3pi)/8+1/4$
Comunque non è difficile nemmeno in coordinate polari:
$int_(0)^(pi/2)int_0^(1/2)2r drd theta+int_(pi/2)^pi int_0^[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))] 2r drd theta=pi/8+1/4int_(pi/2)^pi 1/((sin(theta)-cos(theta))^2 d theta$
$=pi/8+1/4int_(pi/2)^pi 1/(1-sin(2theta)) d theta=pi/8+1/4int_(pi/2)^pi [sin(2theta)/cos^2(2theta)+1/cos^2(2theta)] d theta$
$=pi/8+1/8[(1+sin(2theta))/cos(2theta)]_(pi/2)^pi=pi/8+1/4$
Edit: ho corretto gli estremi
$int_(0)^(pi/2)int_0^(1/2)2r drd theta+int_(pi/2)^pi int_0^[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))] 2r drd theta=pi/8+1/4int_(pi/2)^pi 1/((sin(theta)-cos(theta))^2 d theta$
$=pi/8+1/4int_(pi/2)^pi 1/(1-sin(2theta)) d theta=pi/8+1/4int_(pi/2)^pi [sin(2theta)/cos^2(2theta)+1/cos^2(2theta)] d theta$
$=pi/8+1/8[(1+sin(2theta))/cos(2theta)]_(pi/2)^pi=pi/8+1/4$
Edit: ho corretto gli estremi
Ciao Bokonon,
Si tratta di $1/4 $ dell'ellisse di area $\pi/2 $, solo il semipiano $y >= 0 $: a questo proposito ti segnalo che non sono corretti gli estremi di integrazione che hai scritto...
Tutto quanto sopra senza menzionare il fatto che come hai suggerito si tratta di risolvere due integrali doppi di cui uno non proprio immediato invece di due integrali molto più semplici...
Si tratta di $1/4 $ dell'ellisse di area $\pi/2 $, solo il semipiano $y >= 0 $: a questo proposito ti segnalo che non sono corretti gli estremi di integrazione che hai scritto...
Tutto quanto sopra senza menzionare il fatto che come hai suggerito si tratta di risolvere due integrali doppi di cui uno non proprio immediato invece di due integrali molto più semplici...
@pilloeffe
Uh avevo fatto l'intera area.
Vabbè basta correggere gli estremi dei primi integrali:
$int_(0)^(pi/2)int_0^(1/2)2r drd theta+int_(pi/2)^pi int_0^[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))] 2r drd theta$
$int_0^(pi) int_0^(1/2)2r drd theta-int_(pi/2)^pi int_[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))]^(1/2) 2r drd theta$
Uh avevo fatto l'intera area.
Vabbè basta correggere gli estremi dei primi integrali:
$int_(0)^(pi/2)int_0^(1/2)2r drd theta+int_(pi/2)^pi int_0^[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))] 2r drd theta$
$int_0^(pi) int_0^(1/2)2r drd theta-int_(pi/2)^pi int_[1/(2(sin(theta)-cos(theta)))]^(1/2) 2r drd theta$
"Bokonon":
Uh avevo fatto l'intera area.
Vabbè basta correggere gli estremi dei primi integrali
Ah, indubbiamente...
Consiglio spassionato che vale per ridley, ma anche per tutti gli altri: fate sempre un disegno per vedere come stanno le cose!
Non ho particolari timori reverenziali nei confronti degli integrali doppi (credo che le mie risposte anche recenti a diversi post sugli integrali doppi e tripli in questo forum possano testimoniarlo): resta il fatto che se ho 3 strade per risolvere un problema e le prime due sono molto più semplici della terza tendo a preferire le prime due...
@pilloeffe
Credo ti sia sfuggita questa specifica richiesta
Credo ti sia sfuggita questa specifica richiesta
"ridley":
se volessi proseguire con le coordinate polari come farei a determinare gli estremi di integrazione? Poi se l'integrale risultante è troppo complicato è un'altra storia.
@Bokonon
No che non mi è sfuggita: l'ho semplicemente interpretata come una fissazione dell'utente nel perseguire una delle soluzioni più complicate del problema posto.
Mentre a quanto pare a te è sfuggita questa dell'OP:
Quindi l'OP aveva già capito come era fatto $A$ ed anche intuito quale era la strada più semplice per risolvere il problema, cosa alla quale ho dato seguito perché in effetti così era...
Poi:
Qui l'OP aveva già intuito anche che l'angolo variava fra $0$ e $\pi $: avrei semplicemente potuto rispondergli fra $0 $ e $\pi/2 $ quarto di ellisse, fra $\pi/2 $ e $\pi $ retta. Perché non l'ho fatto? Perché non mi sembrava opportuno e non era di certo la strada più semplice...
Infatti poi ancora nell'OP:
Anche qui l'OP aveva già intuito che l'integrale non sarebbe stato "semplice"...
Ed infine, sempre nell'OP:
Ni, nel senso che non è che è completamente sbagliata o che non sono da considerare le coordinate polari (o meglio ellittiche) in questo caso. Di fatto, ci sono molti modi di risolvere questo problema. Per brevità ne cito solo altri due: considerare il dominio separato come aveva suggerito Mephlip e risolvere il primo integrale (semplice o doppio) in coordinate cartesiane ed il secondo in coordinate ellittiche; oppure ancora considerare le coordinate polari, ma con polo nel punto $P(-1/2, 0) $ invece che nell'origine $O(0,0) $. Tutto molto pittoresco... Ma se un utente (e specialmente un utente con pochi messaggi come ridley...) mi chiede di buttarsi nel burrone
"Bokonon":
Credo ti sia sfuggita questa specifica richiesta
No che non mi è sfuggita: l'ho semplicemente interpretata come una fissazione dell'utente nel perseguire una delle soluzioni più complicate del problema posto.
Mentre a quanto pare a te è sfuggita questa dell'OP:
"ridley":
Facendo il disegno si tratta di un ellisse intersecato con una retta, si può vedere anche come un quarto di ellisse e un triangolo nel secondo quadrante, presumo che questa strada sia quella più semplice anche se non l'ho ancora provata.
Quindi l'OP aveva già capito come era fatto $A$ ed anche intuito quale era la strada più semplice per risolvere il problema, cosa alla quale ho dato seguito perché in effetti così era...
Poi:
"ridley":
L'angolo invece varia tra 0 e 180?
Qui l'OP aveva già intuito anche che l'angolo variava fra $0$ e $\pi $: avrei semplicemente potuto rispondergli fra $0 $ e $\pi/2 $ quarto di ellisse, fra $\pi/2 $ e $\pi $ retta. Perché non l'ho fatto? Perché non mi sembrava opportuno e non era di certo la strada più semplice...
Infatti poi ancora nell'OP:
"ridley":
Non sono sicuro di come determinarlo e anche se potessi l'integrale risultante non è "semplice".
Anche qui l'OP aveva già intuito che l'integrale non sarebbe stato "semplice"...
Ed infine, sempre nell'OP:
"ridley":
Ho preso una strada completamente sbagliata? Le coord. polari non sono da considerare in questo caso?
Ni, nel senso che non è che è completamente sbagliata o che non sono da considerare le coordinate polari (o meglio ellittiche) in questo caso. Di fatto, ci sono molti modi di risolvere questo problema. Per brevità ne cito solo altri due: considerare il dominio separato come aveva suggerito Mephlip e risolvere il primo integrale (semplice o doppio) in coordinate cartesiane ed il secondo in coordinate ellittiche; oppure ancora considerare le coordinate polari, ma con polo nel punto $P(-1/2, 0) $ invece che nell'origine $O(0,0) $. Tutto molto pittoresco... Ma se un utente (e specialmente un utente con pochi messaggi come ridley...) mi chiede di buttarsi nel burrone
"ridley":allora io, che un po' più di esperienza ce l'ho, cerco di dissuaderlo e di indirizzarlo verso le soluzioni più semplici del problema, non verso quelle più complicate...
se volessi proseguire con le coordinate polari come farei a determinare gli estremi di integrazione? Poi se l'integrale risultante è troppo complicato è un'altra storia.
Boh, ti sei fatto un viaggio tutto tuo
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