Integrale doppio, coordinate polari - analisi 2
Buon giorno, scrivo questo post per la risoluzione di un integrale doppio, l'integrale in questione faceva parte di un prova d'esame, ahimè non andata bene. ovviamente volendo capire quali fossero i miei errori ho certato di risolverlo successivamente, ma non avendo metodi di confronto mi appello a voi di matematicamente.
un grazie è d'obbligo ancor prima di andarvi ad esporre il problema.
L'integrale in questione
$intint_D sqrt{x^2+y^2} (y-x) \ dxdy $
e sia $D = {(x,y) in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2<=1, y>=x, (x+y)(x+y-1)<=0}$
per prima cosa vado a disegnare $D$
[geogebra]
per la risoluzione ho creduto che la soluzione migliore fosse quella di calcolare l'integrale su $D_1$ e poi andare a sottrarre quello calcolato su $D_2$
dove $D_1$ è rappresentato da questo grafico:
[geogebra]
e $D_2$ da: (ovviamente solo il triangolo rappresentato dalle due rette e l'arco di circonferenza)
[geogebra]
eseguo le relative sostituzioni in $\rho$ e $\theta$
${ ( x=\rho cos\theta ),( y=\rho sen\theta ):}$
e $D_1 = {(\rho,\theta) in \mathbb{R}^2 : 0<=\rho<=1, \pi/4<=\theta<=3/4 \pi}$
andando a fare le dovute sostituzioni:
$int int_{D_1} sqrt{x^2+y^2} (y-x) \ dxdy = int_{0}^{1}int_(\pi/4)^(3/4\pi)sqrt(\rho^2(cos^2\theta+sen^2\theta)}\rho(sen\theta-cos\theta) \rho \ d\rho d\theta =$
$=int_(0)^(1) \rho^3 d\rho - int_(\pi/4)^(3/4\pi) (-sen\theta + cos\theta) \ d\theta =$
$= [\rho^4 /4]_{0}^{1} - [sen\theta]_{\pi/4}^{3/4\pi} = 1/4$
Ora calcolo l'integrale su $D_2$
Con $D_2 = {(\rho,\theta)in R^2 : 1/(cos\theta+sen\theta) <= \rho <= 1, \pi/4<=\theta<=\pi/2}$ \\su questo sono un po' incerto
$intint_{D_2}sqrt(x^2+y^2) (y-x) \ dx dy = int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta) \ d\theta int_{1/(cos\theta+sen\theta)}^{1} \rho^3 \ drho =$
$= int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta)[(\rho^4)/4]_{1/(cos\theta+sen\theta)}^{1} \ d\theta =$
$=int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta)[1/4 - ((1/(cos\theta+sen\theta))^4)/4] \ d\theta =$
$= int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta) (1/4 - (1/4(1/(cos\theta+sen\theta))^4)) \ d\theta =$
$= int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta) ((cos\theta+sen\theta)^4-1)/(4(cos\theta+sen\theta)^4) \ d\theta =$
ora vado a sostituire $cos\theta+sen\theta = t$ e $cos\theta-sen\theta= dt$
e l'integrale si trasforma in:
$ = -int_{\pi/4}^{\pi/2} (t^4-1)/(4t^4) \ dt = $
$= -1/4 int_{\pi/4}^{\pi/2}dt + 1/4 int_{\pi/4}^{\pi/2} t^(-4)dt=$
$= -1/4 [t]_{\pi/4}^{\pi/2} +1/4 [-1/3 t^(-3)]_{\pi/4}^{\pi/2}=$
$=-1/4[\pi/2-\pi/4] -1/12[1/((\pi^3)/4) -1/((\pi^3)/2)]=$
$= -\pi/16 +14/(3\pi^3)$
ora posso finalmente andare a sottrarre $D_2$ a $D_1$
$ 1/4 -(-\pi/16 +14/(3\pi^3)) = 1/4 +\pi/16 -14/(3\pi^3) = (12\pi^3+3\pi^4-244)/(48\pi^3) $
questo è tutto.
spero non aver commesso errori troppo gravi
aspetto vostre notizie in merito
Filippo
un grazie è d'obbligo ancor prima di andarvi ad esporre il problema.
L'integrale in questione
$intint_D sqrt{x^2+y^2} (y-x) \ dxdy $
e sia $D = {(x,y) in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2<=1, y>=x, (x+y)(x+y-1)<=0}$
per prima cosa vado a disegnare $D$
[geogebra]
per la risoluzione ho creduto che la soluzione migliore fosse quella di calcolare l'integrale su $D_1$ e poi andare a sottrarre quello calcolato su $D_2$
dove $D_1$ è rappresentato da questo grafico:
[geogebra]
e $D_2$ da: (ovviamente solo il triangolo rappresentato dalle due rette e l'arco di circonferenza)
[geogebra]
eseguo le relative sostituzioni in $\rho$ e $\theta$
${ ( x=\rho cos\theta ),( y=\rho sen\theta ):}$
e $D_1 = {(\rho,\theta) in \mathbb{R}^2 : 0<=\rho<=1, \pi/4<=\theta<=3/4 \pi}$
andando a fare le dovute sostituzioni:
$int int_{D_1} sqrt{x^2+y^2} (y-x) \ dxdy = int_{0}^{1}int_(\pi/4)^(3/4\pi)sqrt(\rho^2(cos^2\theta+sen^2\theta)}\rho(sen\theta-cos\theta) \rho \ d\rho d\theta =$
$=int_(0)^(1) \rho^3 d\rho - int_(\pi/4)^(3/4\pi) (-sen\theta + cos\theta) \ d\theta =$
$= [\rho^4 /4]_{0}^{1} - [sen\theta]_{\pi/4}^{3/4\pi} = 1/4$
Ora calcolo l'integrale su $D_2$
Con $D_2 = {(\rho,\theta)in R^2 : 1/(cos\theta+sen\theta) <= \rho <= 1, \pi/4<=\theta<=\pi/2}$ \\su questo sono un po' incerto
$intint_{D_2}sqrt(x^2+y^2) (y-x) \ dx dy = int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta) \ d\theta int_{1/(cos\theta+sen\theta)}^{1} \rho^3 \ drho =$
$= int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta)[(\rho^4)/4]_{1/(cos\theta+sen\theta)}^{1} \ d\theta =$
$=int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta)[1/4 - ((1/(cos\theta+sen\theta))^4)/4] \ d\theta =$
$= int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta) (1/4 - (1/4(1/(cos\theta+sen\theta))^4)) \ d\theta =$
$= int_{\pi/4}^{\pi/2}(sen\theta-cos\theta) ((cos\theta+sen\theta)^4-1)/(4(cos\theta+sen\theta)^4) \ d\theta =$
ora vado a sostituire $cos\theta+sen\theta = t$ e $cos\theta-sen\theta= dt$
e l'integrale si trasforma in:
$ = -int_{\pi/4}^{\pi/2} (t^4-1)/(4t^4) \ dt = $
$= -1/4 int_{\pi/4}^{\pi/2}dt + 1/4 int_{\pi/4}^{\pi/2} t^(-4)dt=$
$= -1/4 [t]_{\pi/4}^{\pi/2} +1/4 [-1/3 t^(-3)]_{\pi/4}^{\pi/2}=$
$=-1/4[\pi/2-\pi/4] -1/12[1/((\pi^3)/4) -1/((\pi^3)/2)]=$
$= -\pi/16 +14/(3\pi^3)$
ora posso finalmente andare a sottrarre $D_2$ a $D_1$
$ 1/4 -(-\pi/16 +14/(3\pi^3)) = 1/4 +\pi/16 -14/(3\pi^3) = (12\pi^3+3\pi^4-244)/(48\pi^3) $
questo è tutto.
spero non aver commesso errori troppo gravi
aspetto vostre notizie in merito
Filippo
Risposte
innanzitutto grazie per la risposta,
oggettivamente il tuo ragionamento è molto più semplice.
solo un'altra domanda (ovviamente non ti chiedo di risolverlo in altro modo, ma solo un chiarimento): se non avessi sbagliato i conti sarei arrivato al tuo stesso risultato o c'è proprio un errore di impostazione nel mio svolgimento?
oggettivamente il tuo ragionamento è molto più semplice.
solo un'altra domanda (ovviamente non ti chiedo di risolverlo in altro modo, ma solo un chiarimento): se non avessi sbagliato i conti sarei arrivato al tuo stesso risultato o c'è proprio un errore di impostazione nel mio svolgimento?
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