Integrale doppio coordinate polari

[tuttomax]

rieccomi...scusate l'insistenza nell'ultima settimana..
come posso risolvere questo integrale doppio?
$ int int_(D) xsqrt(x^2+y^2)dx dy $
dove $ D = { ( x^2+y^2<1 ),( x^2+y^2<2y ),( x<0 ):} $
vedendo x^2+y^2 ho pensato subito alle coordinate polari
facendo il disegno ottengo questo e non potendo calcolare il dominio per tutto il grafico l'ho diviso in due parti


per D1 riesco a calcolare il dominio: $ D1 = { ( pi/2 quindi l'integrale sarebbe $ int_(pi/2)^(5/6pi) (int_(1/(2sintheta))^(1) rho^3costheta \ drho ) d\theta $

per D2 invece non riesco poiche mi sembra che il raggio varia tra $ 0

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Risposte

spugna2

12 gen 2017, 13:01

Direi che conviene procedere senza spezzare il dominio: $x^2+y^2<1$ diventa $rho<1$, e le altre due disequazioni messe insieme danno $pi/2

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tuttomax

12 gen 2017, 13:19

quindi hai calcolato il dominio sostituendo con le coordinate polari
il fatto è che ieri il prof ha spiegato questo metodo risolutivo(e l'esame è questo lunedì ) e lui non toccava mai il dominio,
vedeva dal grafico dove $rho$ e $theta$ fossero max e min e se dipendevano da qualche equazione calcolava quest'ultima con le coordinate polari

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tuttomax

12 gen 2017, 13:32

ok ora ho dubbi sulla risoluzione di un sistema di dissequazioni

come capisci quali valori di $rho$ "prendere" per certi valori di $theta$ (o viceversa)?
perchè non questo
\[ \begin{cases} \rho \ge 0 \\ 0 \le \theta < 2\pi \\ \rho^2 \le 1 \\ \rho^2 \le 2\,\rho\,\sin\theta \\ \rho\,\cos\theta \le 0 \end{cases} \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \begin{cases} 0 \le \rho \le 2\sin\theta \\ \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5}{6}\,\pi \end{cases} \; \; \cup \; \; \begin{cases} 0 \le \rho \le 1 \\ \frac{5}{6}\,\pi \le \theta \le \pi \end{cases} \]

scusate per la domanda sciocca

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tuttomax

12 gen 2017, 15:09

Chiarissmo grazie mille

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[spugna2]

Direi che conviene procedere senza spezzare il dominio: $x^2+y^2<1$ diventa $rho<1$, e le altre due disequazioni messe insieme danno $pi/2

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[tuttomax]

quindi hai calcolato il dominio sostituendo con le coordinate polari
il fatto è che ieri il prof ha spiegato questo metodo risolutivo(e l'esame è questo lunedì ) e lui non toccava mai il dominio,
vedeva dal grafico dove $rho$ e $theta$ fossero max e min e se dipendevano da qualche equazione calcolava quest'ultima con le coordinate polari

[tuttomax]

ok ora ho dubbi sulla risoluzione di un sistema di dissequazioni

come capisci quali valori di $rho$ "prendere" per certi valori di $theta$ (o viceversa)?
perchè non questo
\[ \begin{cases} \rho \ge 0 \\ 0 \le \theta < 2\pi \\ \rho^2 \le 1 \\ \rho^2 \le 2\,\rho\,\sin\theta \\ \rho\,\cos\theta \le 0 \end{cases} \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \begin{cases} 0 \le \rho \le 2\sin\theta \\ \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5}{6}\,\pi \end{cases} \; \; \cup \; \; \begin{cases} 0 \le \rho \le 1 \\ \frac{5}{6}\,\pi \le \theta \le \pi \end{cases} \]

scusate per la domanda sciocca

[tuttomax]

Chiarissmo grazie mille