Integrale doppio con valori assoluti
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con un integrale doppio:
$ int_(-infty)^(+infty) int_(-infty)^(+infty)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy $
Quello che ho fatto io è stato suddividere l'integrale nella somma di più integrali (4), per eliminare i valori assoluti:
$ int_(-infty)^(0) int_(-infty)^(0)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy + int_(0)^(+infty) int_(-infty)^(0)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy + int_(-infty)^(0) int_(0)^(+infty)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy + int_(0)^(+infty) int_(0)^(+infty)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy $
Poi ho appunto eliminato i valori assoluti, ma credo di sbagliare qui.. nel mettere i segni giusti... vi metto come ho fatto il primo dei 4 integrali:
$ int_(-infty)^(0) int_(-infty)^(0)e^(3x-y) dx dy $
ma in questo caso l'integrale diverge...invece dovrebbe convergere...perchè il risultato del primo integrale (prima di togliere i valori assoluti) deve essere \(\displaystyle \frac{2}{3} \)
Vi ringrazio tanto per l'aiuto!
$ int_(-infty)^(+infty) int_(-infty)^(+infty)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy $
Quello che ho fatto io è stato suddividere l'integrale nella somma di più integrali (4), per eliminare i valori assoluti:
$ int_(-infty)^(0) int_(-infty)^(0)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy + int_(0)^(+infty) int_(-infty)^(0)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy + int_(-infty)^(0) int_(0)^(+infty)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy + int_(0)^(+infty) int_(0)^(+infty)e^(-|x-y|-|2x|) dx dy $
Poi ho appunto eliminato i valori assoluti, ma credo di sbagliare qui.. nel mettere i segni giusti... vi metto come ho fatto il primo dei 4 integrali:
$ int_(-infty)^(0) int_(-infty)^(0)e^(3x-y) dx dy $
ma in questo caso l'integrale diverge...invece dovrebbe convergere...perchè il risultato del primo integrale (prima di togliere i valori assoluti) deve essere \(\displaystyle \frac{2}{3} \)
Vi ringrazio tanto per l'aiuto!
Risposte
Il problema è che pretendi di eliminare i valori assoluti spezzando "a casaccio" (cioé senza seguire alcuna logica) la regione d'integrazione... Se rifletti bene su come eliminare i valori assoluti, l'esercizio è semplicissimo. 
grazie per la risposta...l'ho spezzato così per trovarmi in regioni dello spazio nelle quali i segni di x e y erano determinati...non so farlo diversamente...
"mimmyna":
l'ho spezzato così per trovarmi in regioni dello spazio nelle quali i segni di x e y erano determinati
Ed infatti non sono importanti i segni di \(x\) ed \(y\), quando spezzi i valori assoluti, quanto importano i segni degli argomenti dei valori assoluti... Non trovi?
forse gli estremi di integrazione sono questi?
$ 0
da combinare tra loro per ottenere 4 integrali...mi sono venuti tutti \(\displaystyle \frac{1}{2} \) , con risultato finale: \(\displaystyle 2 \) .. è giusto?
$ 0
da combinare tra loro per ottenere 4 integrali...mi sono venuti tutti \(\displaystyle \frac{1}{2} \) , con risultato finale: \(\displaystyle 2 \) .. è giusto?
Quindi, in pratica:
\[
\begin{split}
\intop_{-\infty}^\infty \intop_{-\infty}^\infty e^{-|x-y|-|2x|}\ \text{d} x\text{d} y &= \intop_0^\infty \intop_{-\infty}^x e^{-(x-y)-(2x)}\ \text{d} x\text{d} y + \intop_0^\infty \intop_x^\infty e^{-(y-x)-(2x)}\ \text{d} x\text{d} y\\
&\phantom{=} + \intop_{-\infty}^0 \intop_{-\infty}^x e^{-(x-y)-(-2x)}\ \text{d} x\text{d} y + \intop_{-\infty}^0 \intop_x^\infty e^{-(y-x)-(-2x)}\ \text{d} x\text{d} y\\
&=\cdots
\end{split}
\]
eccetera. No?
\[
\begin{split}
\intop_{-\infty}^\infty \intop_{-\infty}^\infty e^{-|x-y|-|2x|}\ \text{d} x\text{d} y &= \intop_0^\infty \intop_{-\infty}^x e^{-(x-y)-(2x)}\ \text{d} x\text{d} y + \intop_0^\infty \intop_x^\infty e^{-(y-x)-(2x)}\ \text{d} x\text{d} y\\
&\phantom{=} + \intop_{-\infty}^0 \intop_{-\infty}^x e^{-(x-y)-(-2x)}\ \text{d} x\text{d} y + \intop_{-\infty}^0 \intop_x^\infty e^{-(y-x)-(-2x)}\ \text{d} x\text{d} y\\
&=\cdots
\end{split}
\]
eccetera. No?
ora mi è tutto più chiaro, grazie mille!!!
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