Integrale doppio con valore assoluto HELP
Ciao ragazzi, allora io ho da integrare questa funzione nel rispettivo dominio T, che vi scrivo:
$f(x,y)=e^|x|y $
$ T={ (x,y)\in RR^2:|x|+1<=y<=sqrt(4-x^2) } $
Allora io ho fatto la trasformazione in coordinate polari, e ho:
- $ 1
E quindi il dominio diventa $ T'={ (rho,theta)\in RR^2 : 1
Mi sto confondendo adesso nel proseguire, in quando sostituendo nella funzione $ x=rho cos theta $ e $ y=rho sin theta $, la funzione diventa
$ f(rho,theta)=e^|rho cos theta|rho sin theta rho $ (il rho in più è il $DetJ$)
Adesso come faccio a svolgere l'integrale, cioè il valore assoluto come lo tolgo ?
$f(x,y)=e^|x|y $
$ T={ (x,y)\in RR^2:|x|+1<=y<=sqrt(4-x^2) } $
Allora io ho fatto la trasformazione in coordinate polari, e ho:
- $ 1
E quindi il dominio diventa $ T'={ (rho,theta)\in RR^2 : 1
Mi sto confondendo adesso nel proseguire, in quando sostituendo nella funzione $ x=rho cos theta $ e $ y=rho sin theta $, la funzione diventa
$ f(rho,theta)=e^|rho cos theta|rho sin theta rho $ (il rho in più è il $DetJ$)
Adesso come faccio a svolgere l'integrale, cioè il valore assoluto come lo tolgo ?
Risposte
Sei sicuro di aver compreso bene qual è il dominio?
Ti consiglio di disegnarlo nuovamente, se lo hai già fatto, e guardare bene il dominio!!
Inoltre nota che è simmetrico rispetto all'asse y così come $f(x,y)=f(-x,y)$ quindi puoi scrivere
$int_T e^abs(x)*y*dxdy=2*int_D e^x*y*dxdy$
con
$ D={ (x,y)\in RR^2:x>0,x+1<=y<=sqrt(4-x^2) } $
con un po' di pazienza e neanche troppi calcoli si può evitare il cambio di variabili.
Guarda bene il dominio e comprendi gli estremi di integrazione
Ti consiglio di disegnarlo nuovamente, se lo hai già fatto, e guardare bene il dominio!!
Inoltre nota che è simmetrico rispetto all'asse y così come $f(x,y)=f(-x,y)$ quindi puoi scrivere
$int_T e^abs(x)*y*dxdy=2*int_D e^x*y*dxdy$
con
$ D={ (x,y)\in RR^2:x>0,x+1<=y<=sqrt(4-x^2) } $
con un po' di pazienza e neanche troppi calcoli si può evitare il cambio di variabili.
Guarda bene il dominio e comprendi gli estremi di integrazione
"fhabbio":
Sei sicuro di aver compreso bene qual è il dominio?
Ti consiglio di disegnarlo nuovamente, se lo hai già fatto, e guardare bene il dominio!!
Inoltre nota che è simmetrico rispetto all'asse y così come $f(x,y)=f(-x,y)$ quindi puoi scrivere
$int_T e^abs(x)*y*dxdy=2*int_D e^x*y*dxdy$
con
$ D={ (x,y)\in RR^2:x>0,x+1<=y<=sqrt(4-x^2) } $
con un po' di pazienza e neanche troppi calcoli si può evitare il cambio di variabili.
Guarda bene il dominio e comprendi gli estremi di integrazione
Hai ragione guardando il disegno del dominio è simmetrico all'asse y, e quindi si può trasformare nell'integrale che dici tu, vedo adesso di cercare di capire gli estremi di integrazione...
Perfetto^^ tienici aggiornati
"fhabbio":
Perfetto^^ tienici aggiornati
Non riesco a capire sti estremi di integrazione
Mi aiuti ?
[asvg]width=550;
height=550;
axes();
stroke="red";
plot("sqrt(4-x^2)");
stroke="green";
plot("abs(x)+1");
stroke="blue";
line( [0, 1] , [0, 2] );[/asvg]
guardiamo solo la "fettina di torta" a destra (semipiano positivo delle $x$)
le $y$ del nostro dominio sono comprese tra l'arco di circonferenza (in rosso) e la retta (in verde) che la interseca
la $x$ invece varia da $0$ fino al punto di intersezione tra circonferenza e retta.
Il problema quindi si riduce a trovare questo punto. Sei capace di trovare la coordinata $x$ del punto di intersezione tra retta e circonferenza?
height=550;
axes();
stroke="red";
plot("sqrt(4-x^2)");
stroke="green";
plot("abs(x)+1");
stroke="blue";
line( [0, 1] , [0, 2] );[/asvg]
guardiamo solo la "fettina di torta" a destra (semipiano positivo delle $x$)
le $y$ del nostro dominio sono comprese tra l'arco di circonferenza (in rosso) e la retta (in verde) che la interseca
la $x$ invece varia da $0$ fino al punto di intersezione tra circonferenza e retta.
Il problema quindi si riduce a trovare questo punto. Sei capace di trovare la coordinata $x$ del punto di intersezione tra retta e circonferenza?
"fhabbio":
[asvg]width=550;
height=550;
axes();
stroke="red";
plot("sqrt(4-x^2)");
stroke="green";
plot("abs(x)+1");
stroke="blue";
line( [0, 1] , [0, 2] );[/asvg]
guardiamo solo la "fettina di torta" a destra (semipiano positivo delle $x$)
le $y$ del nostro dominio sono comprese tra l'arco di circonferenza (in rosso) e la retta (in verde) che la interseca
la $x$ invece varia da $0$ fino al punto di intersezione tra circonferenza e retta.
Il problema quindi si riduce a trovare questo punto. Sei capace di trovare la coordinata $x$ del punto di intersezione tra retta e circonferenza?
Perfetto il disegno coincide con il mio, e anche io avevo pensato alla x che varia tra 0 e appunto il punto di intersezione fra la retta e la circonferenza.
Ora come si trova questo punto !?
Suvvia... pensaci... è roba da analisi 0,25 (per fare una citazione!xD)
Come si trovano i punti di intersezione?
Tu come lo trovi il punto di intersezione per esempio tra due rette?
Come si trovano i punti di intersezione?
Tu come lo trovi il punto di intersezione per esempio tra due rette?
"fhabbio":
Suvvia... pensaci... è roba da analisi 0,25 (per fare una citazione!xD)
Come si trovano i punti di intersezione?
Tu come lo trovi il punto di intersezione per esempio tra due rette?
Faccio il sistema tra l'equazione della retta e l'equazione della circonferenza ?
Ovvio che sì! Se non sapevi questa ti avrei dirottato sulla sezione del forum "scuola secondaria di I grado" ^^
"fhabbio":
Ovvio che sì! Se non sapevi questa ti avrei dirottato sulla sezione del forum "scuola secondaria di I grado" ^^
Ahahahahah hai ragione, è che ho un po' di confusione in testa e quindi anche le cose banali non mi vengono
Faccio il sistema e aggiorno
Perfetto ho fatto il sistema e mi viene
$x= (-1+sqrt(7))/2$
Il valore della $y$ in corrispondenza dell'intersezione non mi interessa giusto ?
$x= (-1+sqrt(7))/2$
Il valore della $y$ in corrispondenza dell'intersezione non mi interessa giusto ?
anche a me...
Sto risolvendo l'integrale, mi sono ritrovare ad avere adesso la somma di tre integrali, di cui due sono banali,mentro uno è questo qua:
$int_{0}^{(-1+sqrt(7))/2} e^x sqrt(4-x^2) dx $
Consigli per risolverlo ?
$int_{0}^{(-1+sqrt(7))/2} e^x sqrt(4-x^2) dx $
Consigli per risolverlo ?
mmm sicuro che $int y dy = y$?
"fhabbio":
:shock:
mmm sicuro che $int y dy = y$?
Non ti seguo
hai l'integrale doppio
$int_0^(*) int_(f_1)^(f_2) e^x *y *dxdy$
quindi devi integrare prima in $dy$ giusto?
cosa c'è da integrare in $dy$?
$int_0^(*) int_(f_1)^(f_2) e^x *y *dxdy$
quindi devi integrare prima in $dy$ giusto?
cosa c'è da integrare in $dy$?
"fhabbio":
:shock:
mmm sicuro che $ int y dy = y $?
"fhabbio":
hai l'integrale doppio
$int_0^(*) int_(f_1)^(f_2) e^x *y *dxdy$
quindi devi integrare prima in $dy$ giusto?
cosa c'è da integrare in $dy$?
[quote="fhabbio"]:shock:
mmm sicuro che $ int y dy = y $?
[/quote]Hai ragione
la radice sparisce perché diventa $ ((sqrt(4-x^2))^2)/2 $ 
perciò non è più complicato come prima... certo $int x^2*e^x$ è un po' noioso se non si ha dimestichezza con gli integrali... ma comunque, a meno di errori di calcolo, l'esercizio è risolto. ^^
"fhabbio":
perciò non è più complicato come prima... certo $int x^2*e^x$ è un po' noioso se non si ha dimestichezza con gli integrali... ma comunque, a meno di errori di calcolo, l'esercizio è risolto. ^^
Vabbè si può risolvere per parti no ?
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