Integrale doppio con valore assoluto
Ho questo integrale doppio da risolvere
$intint_D(|x-y|*(log(x^2+y^2))/(x^2+y^2))$ in $1<=x^2+y^2<=2$
Va bè tutto a posto, passo a coordinate polari portandomi dietro il valore assoluto fino all'impossibile, ottenendo poi
$sqrt(2)*log(sqrt(2)) * int(|cosa-senb|)$ (non so fare theta e phi, scusatemi).
A questo punto, come devo andare avanti?
Non sapendo calcolare questo integrale, ho diviso il valore assoluto nei 2 casi possibili, avendo 2 risultati diversi.
$sqrt(2)*log(sqrt(2))-1$ e $sqrt(2)*log(sqrt(2))+1$
E poi, cosa faccio? Ho finito qui?
Thank you!
$intint_D(|x-y|*(log(x^2+y^2))/(x^2+y^2))$ in $1<=x^2+y^2<=2$
Va bè tutto a posto, passo a coordinate polari portandomi dietro il valore assoluto fino all'impossibile, ottenendo poi
$sqrt(2)*log(sqrt(2)) * int(|cosa-senb|)$ (non so fare theta e phi, scusatemi).
A questo punto, come devo andare avanti?
Non sapendo calcolare questo integrale, ho diviso il valore assoluto nei 2 casi possibili, avendo 2 risultati diversi.
$sqrt(2)*log(sqrt(2))-1$ e $sqrt(2)*log(sqrt(2))+1$
E poi, cosa faccio? Ho finito qui?
Thank you!
Risposte
Il dominio e la funzione sono simmetrici rispetto all'origine e rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante. Puoi quindi prendere $4$ volte l'integrale che ottieni aggiungendo la condizione $-\pi/4<\phi<\pi/4$, sempre che $-\pi<\phi<\pi$. Altrimenti regolati di conseguenza.
Quando ci sono dei moduli devi spezzare l'integrale nei vari intervalli in cui l'argomento del modulo ha il segno definito e poi sommare i risultati. Un esempio semplice è
[tex]$\int_{0}^{2} |x-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{2}(x-1) dx = 1$[/tex]
nel tuo caso quindi devi studiare il segno di
[tex]$\cos \theta - \sin \theta$[/tex]
con [tex]$\theta \in [0,2\pi]$[/tex]. Suggerisco l'angolo aggiunto...
[tex]$\int_{0}^{2} |x-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{2}(x-1) dx = 1$[/tex]
nel tuo caso quindi devi studiare il segno di
[tex]$\cos \theta - \sin \theta$[/tex]
con [tex]$\theta \in [0,2\pi]$[/tex]. Suggerisco l'angolo aggiunto...
Quindi in soldoni devo sommare i 2 risultati ottenuti?
Mmm...no.
Devi spezzare l´integrale studiando il segno. Ti imposto il ragionamento. Per esplicitare l´espressione
[tex]|\cos \theta - \sin \theta|[/tex]
devi risolvere
[tex]\cos \theta - \sin \theta > 0[/tex]
la cui soluzione nell´intervallo [tex][-\pi,\pi][/tex] é
[tex]\theta \in [\pi/4,-3\pi/4][/tex]
quindi ora sai come dividere le regioni di segno definito. Dunque
[tex]$\int_{-\pi}^{\pi} |\cos \theta - \sin \theta| \, d\theta = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} ( \sin \theta - \cos \theta ) \, d\theta + \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} ( \cos \theta - \sin \theta ) \, d\theta + \int^{\pi}_{\pi/4} ( \sin \theta - \cos \theta ) \, d\theta $[/tex]
il resto lo lascio a te...
E in ogni caso questa é la via lunga e calcolosa...ragionamenti sulle simmetrie tipo quello suggerito da Speculor riducono i conti di molto!!
Devi spezzare l´integrale studiando il segno. Ti imposto il ragionamento. Per esplicitare l´espressione
[tex]|\cos \theta - \sin \theta|[/tex]
devi risolvere
[tex]\cos \theta - \sin \theta > 0[/tex]
la cui soluzione nell´intervallo [tex][-\pi,\pi][/tex] é
[tex]\theta \in [\pi/4,-3\pi/4][/tex]
quindi ora sai come dividere le regioni di segno definito. Dunque
[tex]$\int_{-\pi}^{\pi} |\cos \theta - \sin \theta| \, d\theta = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} ( \sin \theta - \cos \theta ) \, d\theta + \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} ( \cos \theta - \sin \theta ) \, d\theta + \int^{\pi}_{\pi/4} ( \sin \theta - \cos \theta ) \, d\theta $[/tex]
il resto lo lascio a te...
E in ogni caso questa é la via lunga e calcolosa...ragionamenti sulle simmetrie tipo quello suggerito da Speculor riducono i conti di molto!!
Se utilizzi le considerazioni di simmetria del precedente messaggio, non devi spezzare l'integrale, con notevole risparmio di tempo. Questo non vuol dire che tu non debba imparare anche il procedimento "forza bruta", anzi, a questo punto portalo a termine così, ma se impari a riconoscere le eventuali simmetrie ne potrai trarre un sicuro vantaggio.
"alle.fabbri":
Mmm...no.
Devi spezzare l´integrale studiando il segno. Ti imposto il ragionamento. Per esplicitare l´espressione
[tex]|\cos \theta - \sin \theta|[/tex]
devi risolvere
[tex]\cos \theta - \sin \theta > 0[/tex]
la cui soluzione nell´intervallo [tex][-\pi,\pi][/tex] é
[tex]\theta \in [\pi/4,-3\pi/4][/tex]
quindi ora sai come dividere le regioni di segno definito. Dunque
[tex]$\int_{-\pi}^{\pi} |\cos \theta - \sin \theta| \, d\theta = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} ( \sin \theta - \cos \theta ) \, d\theta + \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} ( \cos \theta - \sin \theta ) \, d\theta + \int^{\pi}_{\pi/4} ( \sin \theta - \cos \theta ) \, d\theta $[/tex]
il resto lo lascio a te...
E in ogni caso questa é la via lunga e calcolosa...ragionamenti sulle simmetrie tipo quello suggerito da Speculor riducono i conti di molto!!
Ok una volta spezzato l'integrale (cosa che ho fatto) ottengo quindi 2 risultati.
Devo sommare i due risultati localmente e poi sommare con il risultato fuori dall'integrale, per avere il risultato finale?
Se utilizzi le considerazioni di simmetria del precedente messaggio, non devi spezzare l'integrale, con notevole risparmio di tempo. Questo non vuol dire che tu non debba imparare anche il procedimento "forza bruta", anzi, a questo punto portalo a termine così, ma se impari a riconoscere le eventuali simmetrie ne potrai trarre un sicuro vantaggio.
E' chiaro, ma solitamenta la tensione d'esame tende a non farti notare simmetrie e altre cose che, chiaramente, sarebbero molto utili.
Non ho capito tanto bene la tua domanda...
Provo ad essere più esplicito per vedere se ti chiarisco il dubbio.
L'integrale di partenza è
[tex]$I=\int_D |x-y| \frac{\log(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \, dx dy$[/tex]
in coordinate polari diventa
[tex]$I= 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} |\cos \theta - \sin \theta| \log r \, dr d\theta = 2 \left( \int_{1}^{\sqrt{2}} \log r \, dr \right) \left( \int_{0}^{2\pi} |\cos \theta - \sin \theta| \, d\theta \right) $[/tex]
Quello in [tex]$r$[/tex] si fa. Per quello in [tex]$\theta$[/tex] ragioni come detto sopra e dovrebbe venirti
[tex]$\int_{0}^{2\pi} |\cos \theta - \sin \theta| \, d\theta = 4\sqrt{2}$[/tex]
che moltiplicato per [tex]$2$[/tex] e per il risultato dell'integrale in [tex]$r$[/tex] ti da il risultato finale.
Spero di averti risposto...
Provo ad essere più esplicito per vedere se ti chiarisco il dubbio.
L'integrale di partenza è
[tex]$I=\int_D |x-y| \frac{\log(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \, dx dy$[/tex]
in coordinate polari diventa
[tex]$I= 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} |\cos \theta - \sin \theta| \log r \, dr d\theta = 2 \left( \int_{1}^{\sqrt{2}} \log r \, dr \right) \left( \int_{0}^{2\pi} |\cos \theta - \sin \theta| \, d\theta \right) $[/tex]
Quello in [tex]$r$[/tex] si fa. Per quello in [tex]$\theta$[/tex] ragioni come detto sopra e dovrebbe venirti
[tex]$\int_{0}^{2\pi} |\cos \theta - \sin \theta| \, d\theta = 4\sqrt{2}$[/tex]
che moltiplicato per [tex]$2$[/tex] e per il risultato dell'integrale in [tex]$r$[/tex] ti da il risultato finale.
Spero di averti risposto...
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