Integrale doppio con sostituzione

[fede.unive]

Buongiorno a tutti,

devo calcolare (o meglio trovare un'espressione migliore per) un integrale doppio

$\int_v^oo (\int_{-oo}^{{\ln x+a}/b}{1}/{\sqrt{2\pi}}\exp(-w^2/2)dw) 1/{x\sqrt{2\pi}}\exp(-1/2((-ln x +c)/d)^2)dx$

con $v,a,b,c,d$ parametri positivi.

La sostituzione e' $x=\exp(-y)$. Tuttavia non sono sicuro se per fare questa sostituzione debba utilizzare il determinante del jacobiano per calcolare il differenziale del nuovo integrale o semplicemente $dx = -\exp(-y) dy$. Essendo un integrale doppio credo che dovrebbe utilizzarsi il jacobiano ma non sono sicuro di come fare visto che $x$ si trova nell'estremo di integrazione del integrale tra parentesi.

Io avrei pensato a

$x=exp(-y)=f(y,w)$
$w=w=g(y,w)$

quindi

$\det J = \det ((f'_y,f'_w),(g'_y,g'_w))=\det ((-exp(-y),0),(0,1))=-exp(-y)$

ed infine

$dw dx = |\det J | dw dy = exp(-y)dw dy$.

E' corretto?

Grazie

[fede.unive]

Grazie mille Tem! Chiarissimo (non avevo la speranza che l'integrale si "riducesse", volevo solo essere sicuro che la trasformazione di coordinate fosse fatta correttamente)