Integrale doppio con singolarità nell'origine
Salve ragazzi!
Nel caso in cui avessi un integrale doppio da calcolare e nel dominio è incluso un valore non incluso nel campo di esistenza come devo comportarmi?
[size=150] \( \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{3}x} \frac{\sqrt{x}}{x^2+y^2} dx dy \) [/size]
in particolare con questo ho un problema.
Ho provato a svolgerlo normalmente in coordinate cartesiane e alla fine a fare il limite ma mi viene infinito e secondo il libro non va bene
Grazie!
Nel caso in cui avessi un integrale doppio da calcolare e nel dominio è incluso un valore non incluso nel campo di esistenza come devo comportarmi?
[size=150] \( \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{3}x} \frac{\sqrt{x}}{x^2+y^2} dx dy \) [/size]
in particolare con questo ho un problema.
Ho provato a svolgerlo normalmente in coordinate cartesiane e alla fine a fare il limite ma mi viene infinito e secondo il libro non va bene
Grazie!
Risposte
Ciao,
Non ho provato a svolgerlo in cartesiane ma a guardar la faccia di quel denominatore vengon subito in mente le coordinate polari... Prova a vedere cosa succede così.
Ciao
Non ho provato a svolgerlo in cartesiane ma a guardar la faccia di quel denominatore vengon subito in mente le coordinate polari... Prova a vedere cosa succede così.
Ciao
Come nel caso in dimensione uno devi calcolarlo con un limite.
Per esempio \( \displaystyle \lim_{r\to 0}\int_{r}^{2} \int_{r}^{\sqrt{3}x} \frac{\sqrt{x}}{x^2+y^2} dx dy \).
Io non passerei a coordinate polari.
Per esempio \( \displaystyle \lim_{r\to 0}\int_{r}^{2} \int_{r}^{\sqrt{3}x} \frac{\sqrt{x}}{x^2+y^2} dx dy \).
Io non passerei a coordinate polari.
Ok allora
\( \displaystyle \lim_{r\to 0}\int_{r}^{2} \int_{r}^{\sqrt{3}x} \frac{\sqrt{x}}{x^2+y^2} dx dy \)
metto in evidenza x^2 per ricondurmi all'integrale dell'arcotangente:
\( \lim_{r\rightarrow 0}\int_{r}^{2}\frac{\sqrt{x}}{x^2}dx\int_{r}^{\sqrt{3}x}\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}dy \)
svolgo l'integrale:
\( \lim_{r\rightarrow 0}\int_{r}^{2}\frac{\sqrt{x}}{x^2} \left [\arctan(\sqrt(3)-\arctan(\frac{r}{x}) \right ] dx \)
Ora posso andare a far tendere direttamente r a zero nell'arco tangente o devo svolgere tutto l'integrale e alla fine fare il limite?
\( \displaystyle \lim_{r\to 0}\int_{r}^{2} \int_{r}^{\sqrt{3}x} \frac{\sqrt{x}}{x^2+y^2} dx dy \)
metto in evidenza x^2 per ricondurmi all'integrale dell'arcotangente:
\( \lim_{r\rightarrow 0}\int_{r}^{2}\frac{\sqrt{x}}{x^2}dx\int_{r}^{\sqrt{3}x}\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}dy \)
svolgo l'integrale:
\( \lim_{r\rightarrow 0}\int_{r}^{2}\frac{\sqrt{x}}{x^2} \left [\arctan(\sqrt(3)-\arctan(\frac{r}{x}) \right ] dx \)
Ora posso andare a far tendere direttamente r a zero nell'arco tangente o devo svolgere tutto l'integrale e alla fine fare il limite?
Non portare mai il limite dentro il segno di integrale a meno di sapere di poterlo fare. Comunque qui non puoi farlo.
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