Integrale doppio con risultato alquanto strano
Come da titolo, ho un integrale che mi lascia parecchio perplesso.
Sia $ f(x,y)=((x-y)^2)/(x^2+y^2) $ e $ D={ (x,y) in R^2 : x >= 0 , x >= 0 , 1/2<= x+y <= 1 } $
D è un trapezio di vertici (1/2,0) (1,0) (0,1/2) e (0,1), e lo rendo normale all'asse x con la trasformazione: u=x-y, v=x+y.
Il determinante jacobiano è pari a 1/2, e il nuovo dominio DD ={ (u,v) in R^2 : 1/2<= v <= 1 ,-v<= u <= v}, per cui:
$ int_(1/2)^(1) dv int_(-v)^(v) f(u,v) du=int_(1/2)^(1) dv int_(-v)^(v) u^2/(u^2+v^2)du $
A questo punto arriva il mio problema (che neppure con Mathematica ho risolto, visto che mi da gli stessi risultati che ho ottenuto "a mano"):
- se integro normalmente ho $ int_(1/2)^(1) [u-v*arctg(u/v)]dv $ , con il termine in parentesi quadra da valutare tra v e -v
arctg(1)=pi/4, arctg(-1)=-pi/4, quindi in definitiva ho $ int_(1/2)^(1) 2v-(pi*v)/2 dv=[v^2-(pi*v^2)/2] $ tra 1 e 1/2 ossia $ (3/4-3*pi/16) $
- se applico la sostituzione u=rcos(a) , v=rsen(a) ==> det(J)=r e $ DDD={(r,a) in R^2 : -pi/4 <= a <= pi/4 , 1/(2cos(a)) <= r <= 1/(cos(a))} $ ho:
$ int int_(DDD)^() r*(cos(a))^2 dr da = int_(-pi/4)^(pi/4) [((r^2)/2)*(cos(a))^2] da $ con i termini in parentesi quadra valutati tra 1/(cos(a)) e 1/(2cos(a))
ottenendo infine $ int_(-pi/4)^(pi/4) 3/8 da=3*pi/16 $
I conti li ho rifatti più volte, ho provato anche con Mathematica, ma l'errore persiste. Voi che ne pensate?
Sia $ f(x,y)=((x-y)^2)/(x^2+y^2) $ e $ D={ (x,y) in R^2 : x >= 0 , x >= 0 , 1/2<= x+y <= 1 } $
D è un trapezio di vertici (1/2,0) (1,0) (0,1/2) e (0,1), e lo rendo normale all'asse x con la trasformazione: u=x-y, v=x+y.
Il determinante jacobiano è pari a 1/2, e il nuovo dominio DD ={ (u,v) in R^2 : 1/2<= v <= 1 ,-v<= u <= v}, per cui:
$ int_(1/2)^(1) dv int_(-v)^(v) f(u,v) du=int_(1/2)^(1) dv int_(-v)^(v) u^2/(u^2+v^2)du $
A questo punto arriva il mio problema (che neppure con Mathematica ho risolto, visto che mi da gli stessi risultati che ho ottenuto "a mano"):
- se integro normalmente ho $ int_(1/2)^(1) [u-v*arctg(u/v)]dv $ , con il termine in parentesi quadra da valutare tra v e -v
arctg(1)=pi/4, arctg(-1)=-pi/4, quindi in definitiva ho $ int_(1/2)^(1) 2v-(pi*v)/2 dv=[v^2-(pi*v^2)/2] $ tra 1 e 1/2 ossia $ (3/4-3*pi/16) $
- se applico la sostituzione u=rcos(a) , v=rsen(a) ==> det(J)=r e $ DDD={(r,a) in R^2 : -pi/4 <= a <= pi/4 , 1/(2cos(a)) <= r <= 1/(cos(a))} $ ho:
$ int int_(DDD)^() r*(cos(a))^2 dr da = int_(-pi/4)^(pi/4) [((r^2)/2)*(cos(a))^2] da $ con i termini in parentesi quadra valutati tra 1/(cos(a)) e 1/(2cos(a))
ottenendo infine $ int_(-pi/4)^(pi/4) 3/8 da=3*pi/16 $
I conti li ho rifatti più volte, ho provato anche con Mathematica, ma l'errore persiste. Voi che ne pensate?
Risposte
up
[mod="gugo82"]Vediamo di rispettare il regolamento (cfr. 3.4).[/mod]
Nessuno che abbia un'idea di questa "anomalia"?
L'errore e' nel dominio dell'integrale in forma polare.
Il dominio corretto e' :
[tex]\displaystyle\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \displaystyle\int_{\frac{1}{2sen\theta}}^{\frac{1}{sen\theta}} r (cos\theta)^2\, dr \, d\theta[/tex]
Nel passare a coordinate polari hai stranamente ruotato il trapezio dominio di integrazione da normale all'asse y(v) a normale all'asse x(u).
In questo modo, quando valuti il primo integrale, vai a sostuire un [tex]\frac{1}{cos\theta}[/tex] invece di [tex]\frac{1}{sen\theta}[/tex] .
Comunque non e' facilissimo da trovare, anch'io ci ho perso del tempo.
Conviene sempre fare tutti i passaggi espliciti e scritti, senza condensare 2 o 3 passaggi in uno, senza troppi calcoli a mente, e dove possibile, esplicitare in forma grafica i problemi. (Sono consigli che sto scrivendo per me stesso soprattutto).
Il dominio corretto e' :
[tex]\displaystyle\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \displaystyle\int_{\frac{1}{2sen\theta}}^{\frac{1}{sen\theta}} r (cos\theta)^2\, dr \, d\theta[/tex]
Nel passare a coordinate polari hai stranamente ruotato il trapezio dominio di integrazione da normale all'asse y(v) a normale all'asse x(u).
In questo modo, quando valuti il primo integrale, vai a sostuire un [tex]\frac{1}{cos\theta}[/tex] invece di [tex]\frac{1}{sen\theta}[/tex] .
Comunque non e' facilissimo da trovare, anch'io ci ho perso del tempo.
Conviene sempre fare tutti i passaggi espliciti e scritti, senza condensare 2 o 3 passaggi in uno, senza troppi calcoli a mente, e dove possibile, esplicitare in forma grafica i problemi. (Sono consigli che sto scrivendo per me stesso soprattutto).
Grazie!!!!!
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