Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza
Salve forum 
Sono alle prese con un integrale doppio che mi sta creando qualche grattacapo...
$ intint(dxdy)/(x^2+y^2) $
Dove il dominio, datomi graficamente dalla traccia, è la regione di piano compresa tra la parte interna dela circonferenza di raggio 1 e centro (0,1) e la retta di equazione y>2-x
Vi dico come ho proceduto io:
Inizialmente ho ignorato il passaggio alle coordinate polari, operando considerando il dominio normale rispetto a x. Gli estremi di integrazione delle ascisse li ho ricavati mettendo a sistema l'equazione della circonferenza e della retta:
$ x^2+y^2-2y<0 $
$ y>2-x $
Mi sono trovato le soluzioni del sistema per soluzione, sostituendo il valore della y nella prima equazione, e trovando che i punti che intersecano sono (0,2) e (1,0)...di conseguenza, x varia da 0 a 1...Non so se fin qui sia giusto il procedimento xD
Le ordinate invece variano da $ 2-x $ a $ 1+sqrt{1-x^2} $ ...quest'ultima condizione ottenuta ricavandola dall'equazione della circonferenza..
$ x^2+(y-1)^2<1 $
Non sono però riuscito a trovare gli estremi di integrazione passando alle coordinate polari, nella speranza di facilitare il calcolo dell'integrale..
Passando al sistema di coordinate:
x=rcos(t)
y=1+rsin(t)
Dall'equazione della retta, ottengo
$ r(sin(t)+cos(t))+1>2, r>1/(cos(t)+sin(t)) $
Dall'equazione della circonferenza, ottengo invece..
$ r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t)+1+2rsin(t)-2rsin(t)=0, r<-1 $ Ma non è possibile questa cosa...e qui mi sono imballato...anche nel trovare gli estremi in cui varia t...
Ci saranno sicuramente una miriade di errori..mi affido a voi per scovarli e illuminare la mia mente annebbiata
Sono alle prese con un integrale doppio che mi sta creando qualche grattacapo...
$ intint(dxdy)/(x^2+y^2) $
Dove il dominio, datomi graficamente dalla traccia, è la regione di piano compresa tra la parte interna dela circonferenza di raggio 1 e centro (0,1) e la retta di equazione y>2-x
Vi dico come ho proceduto io:
Inizialmente ho ignorato il passaggio alle coordinate polari, operando considerando il dominio normale rispetto a x. Gli estremi di integrazione delle ascisse li ho ricavati mettendo a sistema l'equazione della circonferenza e della retta:
$ x^2+y^2-2y<0 $
$ y>2-x $
Mi sono trovato le soluzioni del sistema per soluzione, sostituendo il valore della y nella prima equazione, e trovando che i punti che intersecano sono (0,2) e (1,0)...di conseguenza, x varia da 0 a 1...Non so se fin qui sia giusto il procedimento xD
Le ordinate invece variano da $ 2-x $ a $ 1+sqrt{1-x^2} $ ...quest'ultima condizione ottenuta ricavandola dall'equazione della circonferenza..
$ x^2+(y-1)^2<1 $
Non sono però riuscito a trovare gli estremi di integrazione passando alle coordinate polari, nella speranza di facilitare il calcolo dell'integrale..
Passando al sistema di coordinate:
x=rcos(t)
y=1+rsin(t)
Dall'equazione della retta, ottengo
$ r(sin(t)+cos(t))+1>2, r>1/(cos(t)+sin(t)) $
Dall'equazione della circonferenza, ottengo invece..
$ r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t)+1+2rsin(t)-2rsin(t)=0, r<-1 $ Ma non è possibile questa cosa...e qui mi sono imballato...anche nel trovare gli estremi in cui varia t...
Ci saranno sicuramente una miriade di errori..mi affido a voi per scovarli e illuminare la mia mente annebbiata
Risposte
Non trovo una soluzione analitica al tuo integrale... È scritto correttamente? C'è per caso una $x$ o una $y$ a numeratore?
In ogni caso, vediamo di chiarire qualche dubbio...
Non è chiaramente una retta (non hai l'uguaglianza), ma un semipiano.
Forse qui hai sbagliato a digitare, il secondo punto è $(1,1)$.
Per il resto la parte in coordinate cartesiane va bene.
Per quanto riguarda le coordinate polari, invece, se decidi di centrarle in $(0,1)$ (potrebbe non essere una buona idea) la parametrizzazione risulta:
In ogni caso, vediamo di chiarire qualche dubbio...
"Sta_bile":
e la retta di equazione y>2-x
Non è chiaramente una retta (non hai l'uguaglianza), ma un semipiano.
"Sta_bile":
Mi sono trovato le soluzioni del sistema per soluzione, sostituendo il valore della y nella prima equazione, e trovando che i punti che intersecano sono (0,2) e (1,0)
Forse qui hai sbagliato a digitare, il secondo punto è $(1,1)$.
Per il resto la parte in coordinate cartesiane va bene.
Per quanto riguarda le coordinate polari, invece, se decidi di centrarle in $(0,1)$ (potrebbe non essere una buona idea) la parametrizzazione risulta:
- retta: $rho=1/(\cos\theta+\sin\theta)$[/list:u:37b6n86m]
- circonferenza: banalmente $rho=1$. Sei nel centro della circonferenza, i suoi punti sono a distanza costante.[/list:u:37b6n86m]
Da un disegno dovresti osservare facilmente che $theta\in[0,pi/2]$.
Se centri in $(0,0)$:
- retta: $rho=2/(\cos\theta+\sin\theta)$[/list:u:37b6n86m]
- circonferenza: $rho=2\sin\theta$[/list:u:37b6n86m]
Con $theta\in[pi/4,pi/2]$.
Grazie per la risposta Ma volevo chiederti come fa l'angolo theta a variare da 0 a pigreco mezzi? Questa parte non l'ho capita Comunque hai ragione. Per la fretta ho scritto male la traccia... Il denominatore è tutto sotto radice
Ma volevo chiederti come fa l'angolo theta a variare da 0 a pigreco mezzi? Questa parte non l'ho capita Comunque hai ragione. Per la fretta ho scritto male la traccia... Il denominatore è tutto sotto radice
Se sei centrato in $(0,1)$ vedi il punto $(1,1)$ sotto un angolo nullo (stessa ordinata) e il punto $(0,2)$ sotto un angolo retto (stessa ascissa).
Ma come faccio a traslare la circonferenza dal centro (0,1) a (0,0) ?
Stai traslando di una unità in direzione $-y$.
Pertanto la circonferenza diviene $x^2+(y+1)^2-2(y+1)=0$ che ovviamente è $x^2+y^2=1$, ossia la circonferenza unitaria centrata nell'origine.
Ma questo non ti aiuta a svolgere l'integrale, anzi, ti complica il calcolo.
Lascia invariato il dominio e centra le coordinate polari nell'origine.
Pertanto la circonferenza diviene $x^2+(y+1)^2-2(y+1)=0$ che ovviamente è $x^2+y^2=1$, ossia la circonferenza unitaria centrata nell'origine.
Ma questo non ti aiuta a svolgere l'integrale, anzi, ti complica il calcolo.
Lascia invariato il dominio e centra le coordinate polari nell'origine.
Scusa se continuo a farti domande, ma quindi gli estremi di integrazione in coordinate polari che sceglieresti tu sono:
$ 1/(costheta+sintheta)
e
$ 0
?
$ 1/(costheta+sintheta)
e
$ 0
?
Fai bene a far domande, risolvi tutti i dubbi che hai.
Gli estremi che hai indicato vanno bene se centri in $(0,1)$, ma così non vengono conti agevoli. Perciò userei queste:
(Ti sono chiare?)
Gli estremi che hai indicato vanno bene se centri in $(0,1)$, ma così non vengono conti agevoli. Perciò userei queste:
"dott.ing":
Se centri in $ (0,0) $:
retta: $ rho=2/(\cos\theta+\sin\theta) $[/list:u:1dciylzc]
circonferenza: $ rho=2\sin\theta $[/list:u:1dciylzc]
Con $ theta\in[pi/4,pi/2] $.
(Ti sono chiare?)
Chiarissimo, grazie per la pazienza ^^
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